Matemáticas B · 4.º ESO Unidad 2 · Edición ampliada
Polinomios y fracciones algebraicas Esta guía está pensada para aprender, no solo para consultar fórmulas. Primero entenderás qué significa cada idea; después verás las cuentas completas y, por último, lo intentarás tú.
Si una palabra te resulta nueva La explicamos cuando aparece y la conectamos con un ejemplo. En cada bloque, usa Aprende → Ejemplo → Practica. Si te atascas, vuelve al paso anterior y abre la pista antes de mirar la solución.
No necesitas terminar la unidad de una vez. Empieza por signos, distributiva y potencias. Continúa con división y Ruffini; después raíces y factorización; por último, fracciones. Los apartados de ampliación quedan dentro de desplegables para no interrumpir el aprendizaje básico.
Índice de la unidad Leer y operar polinomios Dividir polinomios Ruffini y teorema del resto Raíces y búsqueda de candidatos Factorizar con una estrategia Divisibilidad, MCD y MCM Fracciones algebraicas y restricciones Operar fracciones algebraicas Cómo organizar tu estudio Empieza por signos, términos semejantes y distributiva. Practica hasta poder explicar cada producto. Aprende división larga y comprueba dividendo = divisor · cociente + resto. Trabaja Ruffini con su secuencia visual; conecta resto, evaluación y raíces. Elige una estrategia de factorización antes de hacer cuentas. Calcula MCD y MCM con los factores visibles. Termina con fracciones: restricciones, factorización, operación y comprobación. Cómo utilizar la práctica Nivel 1: inicia el procedimiento. Nivel 2: combina pasos y justifica. Nivel 3: trabaja con condiciones o más razonamiento. No pases de nivel por rapidez: comprueba que puedes explicar las decisiones.
Antes de empezar Simplifica 3x + 2x − x. Calcula (−2)³ y (−2)². Desarrolla 2(x − 3). Factoriza x² − 9. ¿Puedes dividir entre 0? Comprueba tus bases 4x; −8 y 4; 2x − 6; (x − 3)(x + 3); no. Si fallas signos o distributiva, empieza por el bloque 1 y repite sus ejemplos antes de dividir.
01 · Leer y operar polinomios Identificar términos y grados, operar con signos y reconocer identidades.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 1.1 Primero: ¿qué estás mirando? Piensa en x como una casilla donde puedes poner un número. Un polinomio reúne varias operaciones con esa casilla. Por ejemplo, en 4x³ − 2x + 7, si eliges x = 2, obtienes 4 · 2³ − 2 · 2 + 7 = 35. La misma expresión sirve para muchos valores de x.
Cada pieza separada por una suma o una resta es un término . En este ejemplo hay tres: 4x³, −2x y 7. El signo forma parte del término: el segundo no es 2x, sino −2x.
Palabra Qué significa En 4x³ − 2x + 7 Coeficiente Número que multiplica la parte con x. 4 y −2; el término constante tiene coeficiente 7. Exponente Cuántas veces se multiplica x por sí misma. x³ = x · x · x. En x el exponente es 1. Término independiente Pieza que no contiene x. 7. Su valor no depende de la casilla. Grado Mayor exponente que queda después de simplificar. 3.
P(x) = 4x³ − 2x + 7 Grado: 3 Mayor exponente Coeficiente líder: 4 Término constante: 7 No lleva x P(0) = 7 Falta x² Su coeficiente es 0 Lista: 4, 0, −2, 7 Radiografía de un polinomio: grado, término independiente y coeficientes, incluidos los ceros. Dos detalles que ayudan x² significa 1x² y −x significa −1x. Si falta x², su coeficiente es 0: 4x³ − 2x + 7 = 4x³ + 0x² − 2x + 7.
1.2 Sumar: reúne piezas del mismo tipo 3x² y 5x² son piezas del mismo tipo porque llevan exactamente x². Solo sumas sus números: 3x² + 5x² = (3 + 5)x² = 8x². En cambio, 3x² y 5x no son del mismo tipo. No puedes juntarlos en un solo término.
1.3 Restar: cambia todos los signos del paréntesis Restar un polinomio es sumar su opuesto. Para quitar el paréntesis de −(x² + 4x − 6), cambia el signo de sus tres términos: −x² − 4x + 6. El último se vuelve positivo porque estás restando un número negativo.
1.4 Multiplicar: cada término visita a todos los del otro factor En (x + 2)(x + 3) debes hacer cuatro productos: x · x, x · 3, 2 · x y 2 · 3. Así obtienes x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Dejar alguno fuera cambia el resultado.
1.5 Tres productos que reconocerás muchas veces (a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
x 2 x 2 x² 2x 2x 4 (x + 2)² = x² + 4x + 4 El término 4x no desaparece. Modelo de áreas para x > 0: el cuadrado de lado x + 2 reúne x², dos rectángulos 2x y un cuadrado de área 4. El dibujo es esquemático. No necesitas aprenderlas como frases sin sentido: salen al multiplicar los dos paréntesis. En la pestaña Ejemplo veremos una de ellas término a término.
1.5.1 ¿Qué expresiones quedan fuera de los polinomios? En un polinomio en x, los exponentes de x son enteros no negativos: 0, 1, 2, 3… Por eso x² + 1 sí es un polinomio, pero 1/x = x⁻¹ y √x = x1/2 no lo son. Una constante no nula, como 7, tiene grado 0. Al polinomio cero no le asignaremos grado en esta unidad.
1.5.2 Antes de indicar el grado, simplifica En 5x⁴ − 5x⁴ + 2x, las piezas con x⁴ se anulan. Queda 2x: el grado es 1. No basta con mirar el mayor exponente que aparecía antes de operar.
1.6 De una cuenta concreta a una identidad Una igualdad como (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6 es una identidad: vale para todos los valores de x. Una ecuación, como x² – 1 = 0, te pide encontrar los valores que la hacen verdadera. Probar x = 1 puede detectar un fallo de cálculo, pero no demuestra una identidad.
1.6.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
1.7.1 Una resta sin saltos Vamos a calcular (2x² − 3x + 1) − (x² + 4x − 6).
Quita el segundo paréntesis cambiando todos sus signos: 2x² − 3x + 1 − x² − 4x + 6. Junta las piezas con x²: 2x² − x² = x². Junta las piezas con x: −3x − 4x = −7x. Junta los números: 1 + 6 = 7. Resultado: x² − 7x + 7
Comprueba un valor Si x = 1, la expresión original vale 0 − (−1) = 1. El resultado simplificado vale 1 − 7 + 7 = 1. Coinciden. Esta prueba detecta errores, aunque probar un solo valor no demuestra una identidad para todos los valores.
1.7.2 Multiplicar dos paréntesis Producto Resultado 3x · x 3x² 3x · 5 15x −2 · x −2x −2 · 5 −10
Por tanto, (3x − 2)(x + 5) = 3x² + 15x − 2x − 10 = 3x² + 13x − 10.
1.7.3 Por qué hay un término central (2x + 1)² significa (2x + 1)(2x + 1). Los cuatro productos son 4x², 2x, 2x y 1. Los dos términos centrales se suman, de modo que el resultado es 4x² + 4x + 1. Escribir solo 4x² + 1 deja dos productos sin contar.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E01 · Inicio Indica grado, coeficiente principal y término independiente de −2x⁴ + 3x² − 8. Escribe todos los coeficientes en orden.
Necesito una pista Incluye los términos que faltan con coeficiente 0.
Solución razonada Por qué se hace así: La mayor potencia que aparece es x⁴ y su número es −2. No hay x³ ni x, por eso sus coeficientes se escriben como 0. El −8 no lleva x. Resultado Grado 4; coeficiente principal −2; término independiente −8. Lista: −2, 0, 3, 0, −8.
E02 · Inicio Desarrolla (2x – 2)(x + 4) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 2x², 8x, -2x y -8. Reúne términos semejantes: 2·x² + 6·x – 8. En x = -1: (-4)·(3) = -12. E03 · Inicio Desarrolla (3x – 2)(x + 5) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 3x², 15x, -2x y -10. Reúne términos semejantes: 3·x² + 13·x – 10. En x = -1: (-5)·(4) = -20. E04 · Consolidación Calcula (2x² − 3x + 1) − (x² + 4x − 6).
Necesito una pista El signo menos afecta a los tres términos del segundo paréntesis.
Solución razonada Por qué se hace así: Primero cambia los tres signos del segundo paréntesis. Después reúne x² con x², x con x y números con números. No se agrupan potencias diferentes. E05 · Consolidación Desarrolla (3x − 2)(x + 5) y (2x + 1)².
Necesito una pista En el segundo producto puedes usar una identidad notable.
Solución razonada Por qué se hace así: En el producto reparte 3x y −2 sobre x y 5. En el cuadrado, multiplica (2x + 1) por sí mismo: aparecen dos términos 2x, que juntos dan 4x. E06 · Consolidación Desarrolla (4x – 2)(x + 6) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 4x², 24x, -2x y -12. Reúne términos semejantes: 4·x² + 22·x – 12. En x = -1: (-6)·(5) = -30. E07 · Consolidación Desarrolla (5x – 2)(x + 7) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 5x², 35x, -2x y -14. Reúne términos semejantes: 5·x² + 33·x – 14. En x = -1: (-7)·(6) = -42. E08 · Reto Desarrolla (6x – 2)(x + 8) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 6x², 48x, -2x y -16. Reúne términos semejantes: 6·x² + 46·x – 16. En x = -1: (-8)·(7) = -56. E09 · Reto Desarrolla (7x – 2)(x + 9) y calcula su valor en x = -1.
Necesito una pista Distribuye cada término y sustituye usando paréntesis.
Solución razonada Productos: 7x², 63x, -2x y -18. Reúne términos semejantes: 7·x² + 61·x – 18. En x = -1: (-9)·(8) = -72. 02 · Dividir polinomios Encontrar cociente y resto y comprobar la identidad de la división.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 2.1 Qué buscamos al dividir Recuerda una división de números: 17 = 5 · 3 + 2. El 17 es el dividendo, 5 el divisor, 3 el cociente y 2 el resto. En los polinomios buscamos exactamente la misma relación, cambiando números por expresiones.
Dividendo = divisor · cociente + resto
Llamaremos P al dividendo, D al divisor, C al cociente y R al resto. No son operaciones nuevas: son nombres para reconocer cada pieza.
2.2 El método se repite siempre Ordena ambos polinomios desde la mayor potencia hasta la menor. Si falta una potencia, deja su hueco con coeficiente 0. Divide el primer término que queda del dividendo entre el primer término del divisor. Esa será una pieza del cociente. Multiplica TODO el divisor por esa pieza. Resta TODO ese producto del polinomio que tenías. Usa paréntesis para no perder signos. Repite con el resultado que queda. 1 · Divide los términos de mayor grado. ↓ 2 · Multiplica el divisor y resta toda la expresión. ↓ 3 · Repite hasta que el resto tenga menor grado. División de polinomios: divide, multiplica y resta; termina cuando el grado del resto es menor que el del divisor. ¿Cuándo puedes parar? Cuando el resto sea 0 o su grado sea menor que el del divisor. Si divides por x² + 1, el resto puede contener x o ser un número, pero no puede conservar x².
Si el resto es 0, decimos que la división es exacta : el dividendo es un producto del divisor por el cociente. Si no, guarda también el resto; no lo borres.
2.2.1 Un paso pequeño con signos Si tienes x³ − 2x + 5 y restas x³ + x, escribe x³ − 2x + 5 − (x³ + x). Quitar ese paréntesis da x³ − 2x + 5 − x³ − x = −3x + 5. El −2x se convierte en −3x porque también restas otro x.
2.2.2 Cómo comprobar cualquier división Multiplica divisor por cociente y suma el resto. Debes recuperar el dividendo original. Comprueba también que el resto tiene grado menor que el divisor. Las dos condiciones importan.
2.2.3 Si el dividendo es más pequeño Si quieres dividir x + 1 entre x² + 1, el grado del dividendo es menor. No puedes sacar una primera pieza polinómica del cociente: C = 0 y R = x + 1.
2.3 Por qué el algoritmo termina En cada paso eliminamos el término de mayor grado que queda. Por eso el grado va bajando. Al final el resto tiene grado menor que el divisor: ya no puedes eliminar su primer término usando un cociente polinómico. Esta condición distingue un resto terminado de una cuenta incompleta.
2.3.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
2.4.1 Empieza con una división corta Dividimos x³ − 2x + 5 entre x² + 1.
Ordena: x³ + 0x² − 2x + 5. Divide los primeros términos: x³/x² = x. Esa es la pieza del cociente. Multiplica: x(x² + 1) = x³ + x. Resta: (x³ − 2x + 5) − (x³ + x) = −3x + 5. Para: el resto tiene grado 1 y el divisor tiene grado 2. Cociente: x · Resto: −3x + 5
Comprobación: (x² + 1)x + (−3x + 5) = x³ − 2x + 5.
2.4.2 Repetimos hasta terminar Divide x⁴ + 2x³ − x + 3 entre x² + 1. Añade 0x² para ver el hueco.
Lo que queda antes del paso Divide los primeros términos Producto que restas Lo que queda después x⁴ + 2x³ + 0x² − x + 3 x⁴/x² = x² x⁴ + x² 2x³ − x² − x + 3 2x³ − x² − x + 3 2x³/x² = 2x 2x³ + 2x −x² − 3x + 3 −x² − 3x + 3 −x²/x² = −1 −x² − 1 −3x + 4
Las piezas del cociente son x², 2x y −1: C = x² + 2x − 1. El resto es R = −3x + 4.
Despliega la comprobación completa (x² + 1)(x² + 2x − 1) = x⁴ + 2x³ + 2x − 1. Al sumar −3x + 4 queda x⁴ + 2x³ − x + 3, que es el dividendo original.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E10 · Inicio Divide x³ + x² − 4x − 4 entre x + 1.
Necesito una pista También puedes agrupar: x²(x + 1) − 4(x + 1).
Solución razonada Por qué se hace así: Saca x + 1 por agrupación: x²(x + 1) − 4(x + 1). Como el dividendo ya es (x + 1)(x² − 4), el cociente es x² − 4 y no sobra nada. Resultado C = x² − 4 y R = 0, pues (x + 1)(x² − 4) = x³ + x² − 4x − 4.
E11 · Inicio Divide x³ + 2·x² – 3·x + 4 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 2·x² – 3·x + 4. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 2·x² – 4·x + 4. La siguiente pieza es 2. Resta 2(x² + 1). Queda 2 – 4·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 2) + (2 – 4·x) = x³ + 2·x² – 3·x + 4. Resultado C = x + 2; R = 2 – 4·x.
E12 · Inicio Divide x³ + 3·x² – 4·x + 5 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 3·x² – 4·x + 5. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 3·x² – 5·x + 5. La siguiente pieza es 3. Resta 3(x² + 1). Queda 2 – 5·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 3) + (2 – 5·x) = x³ + 3·x² – 4·x + 5. Resultado C = x + 3; R = 2 – 5·x.
E13 · Consolidación Divide 2x³ + x² − 5x + 4 entre x² − 1.
Necesito una pista El cociente tendrá grado 1 y el resto, como máximo, grado 1.
Solución razonada Por qué se hace así: Primero obtienes 2x y restas 2x³ − 2x. Queda x² − 3x + 4. Después obtienes 1 y restas x² − 1. Queda −3x + 5, de grado menor que el divisor. E14 · Consolidación Para dividir x³ − 2x + 5 entre x² + 1, alguien propone C = x y R = −2x + 5. ¿Es correcto?
Necesito una pista Multiplica divisor por cociente y suma el resto propuesto.
Solución razonada Por qué se hace así: El producto del divisor por x aporta un +x además del x³. Por eso debes restar también ese +x al calcular lo que sobra: −2x − x = −3x. E15 · Consolidación Divide x³ + 4·x² – 5·x + 6 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 4·x² – 5·x + 6. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 4·x² – 6·x + 6. La siguiente pieza es 4. Resta 4(x² + 1). Queda 2 – 6·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 4) + (2 – 6·x) = x³ + 4·x² – 5·x + 6. Resultado C = x + 4; R = 2 – 6·x.
E16 · Consolidación Divide x³ + 5·x² – 6·x + 7 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 5·x² – 6·x + 7. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 5·x² – 7·x + 7. La siguiente pieza es 5. Resta 5(x² + 1). Queda 2 – 7·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 5) + (2 – 7·x) = x³ + 5·x² – 6·x + 7. Resultado C = x + 5; R = 2 – 7·x.
E17 · Reto Divide x³ + 6·x² – 7·x + 8 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 6·x² – 7·x + 8. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 6·x² – 8·x + 8. La siguiente pieza es 6. Resta 6(x² + 1). Queda 2 – 8·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 6) + (2 – 8·x) = x³ + 6·x² – 7·x + 8. Resultado C = x + 6; R = 2 – 8·x.
E18 · Reto Divide x³ + 7·x² – 8·x + 9 entre x² + 1 y comprueba el resultado.
Necesito una pista La primera pieza es x; después resta todo el producto.
Solución razonada Ordena el dividendo: x³ + 7·x² – 8·x + 9. Primera pieza: x³/x² = x. Resta x(x² + 1) = x³ + x. Queda 7·x² – 9·x + 9. La siguiente pieza es 7. Resta 7(x² + 1). Queda 2 – 9·x, de grado 1 menor que 2. Comprobación: (x² + 1)(x + 7) + (2 – 9·x) = x³ + 7·x² – 8·x + 9. Resultado C = x + 7; R = 2 – 9·x.
03 · Ruffini y teorema del resto Dividir por x − a y calcular restos mediante una sustitución.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 3.1 Para qué sirve Ruffini Ruffini es una forma rápida de dividir un polinomio cuando el divisor tiene la forma x − a. Hace las mismas cuentas que la división larga, pero guarda solo los coeficientes. Por ejemplo, dividir entre x − 2 permite usar Ruffini con el número 2.
3.2 La decisión que va antes de la tabla Mira el divisor y piensa: «¿Qué valor de x haría que este divisor valiese cero?». Ese es el número que colocas a la izquierda.
Divisor Número a la izquierda Por qué x − 2 2 2 − 2 = 0 x + 3 −3 −3 + 3 = 0 x 0 0 hace que el divisor valga 0.
Por qué cambia el signo La forma de referencia es x − a. x + 3 es x − (−3), por eso a = −3. No es una regla de cambiar signos sin motivo: estás buscando el valor que anula el divisor.
3.3 Después, prepara todos los coeficientes Ordena el polinomio de mayor a menor grado. Si falta una potencia, escribe un 0 en su lugar. Para x³ − 5x + 2, la lista es 1, 0, −5, 2; el 0 ocupa el lugar de x². Si lo omites, cambias de polinomio y toda la tabla se desplaza.
3.4 El movimiento que se repite Baja el primer coeficiente. Multiplícalo por el número de la izquierda. Coloca el producto debajo del siguiente coeficiente. Suma esa columna y escribe el resultado abajo. Repite: el nuevo resultado de abajo se multiplica por el número de la izquierda. 3.4.1 Ver el procedimiento visual completo: una casilla cada vez Ruffini, casilla por casilla Abre los pasos en orden. La casilla resaltada muestra el número nuevo. No hay prisa: el patrón es bajar una vez y después alternar multiplicar y sumar.
1 · Prepara el signo y los coeficientes Divisor x − 2 → usamos a = 2. Escribe 1, −4, 1, 6: son los coeficientes de x³ − 4x² + x + 6, en ese orden. La tabla tiene una columna por cada potencia, incluido el número final.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos Sumamos
2 · Baja el primer coeficiente Copia el primer número, 1, en la fila inferior. No haces ninguna cuenta para obtenerlo: simplemente lo bajas.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos Sumamos 1
3 · Multiplica 1 por 2 Toma el número que acabas de escribir abajo: 1. Multiplícalo por a = 2: 1 · 2 = 2. Coloca ese 2 debajo del siguiente coeficiente, −4.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 Sumamos 1
4 · Suma la columna: −4 + 2 Ahora suma los dos números de esa columna: −4 + 2 = −2. Escribe −2 en la fila inferior. Ese será el número que usarás en la próxima multiplicación.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 Sumamos 1 −2
5 · Multiplica −2 por 2 El nuevo número de abajo es −2. Multiplica −2 · 2 = −4 y colócalo debajo del siguiente coeficiente, que es 1. No vuelvas al primer 1: siempre usas el último resultado de abajo.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 Sumamos 1 −2
6 · Suma la columna: 1 + (−4) 1 + (−4) = −3. Escribe −3 abajo. Sumar un número negativo equivale a restar: 1 − 4 = −3.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 Sumamos 1 −2 −3
7 · Multiplica −3 por 2 Multiplica el último resultado de abajo por 2: −3 · 2 = −6. Colócalo debajo del último coeficiente, 6.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 −6 Sumamos 1 −2 −3
8 · Suma la última columna 6 + (−6) = 0. Este último resultado tiene una función especial: es el resto de la división.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 −6 Sumamos 1 −2 −3 0
9 · Convierte la fila inferior en una respuesta La fila final es 1, −2, −3, 0. Separa el último número, 0: es el resto. Los anteriores, 1, −2 y −3, son los coeficientes del cociente. Como dividiste un polinomio de grado 3 entre uno de grado 1, el cociente empieza en x².
C(x) = 1x² − 2x − 3 = x² − 2x − 3 · R = 0
Por tanto, x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3). El resto 0 indica que la división es exacta.
3.5 Cómo leer el resultado El último número de la fila inferior es el resto. Los anteriores son los coeficientes del cociente. El cociente tiene un grado menos que el polinomio que dividiste. Si el resto es 0, la división es exacta.
3.6 Calcular solo el resto: puedes ahorrar la tabla Si solo te piden el resto al dividir P entre x − a, sustituye x por a en P. El número que obtengas es el resto. Esta regla se llama teorema del resto .
Resto al dividir P(x) entre x − a = P(a)
3.6.1 ¿Por qué el resto es P(a)? La división se escribe P(x) = (x − a)C(x) + r. Si eliges x = a, el factor x − a se vuelve 0. Queda P(a) = 0 · C(a) + r = r. La sustitución elimina el cociente y deja solo el resto.
3.6.2 Más adelante: un divisor como 2x − 1 Primero escribe 2x − 1 = 2(x − 1/2). Aplica Ruffini con 1/2 para dividir entre x − 1/2. Después divide el cociente obtenido entre 2, porque el divisor original era el doble. El resto no cambia. Domina primero divisores x − a; esta adaptación viene después.
Cuándo no usar esta tabla directamente No uses Ruffini básica para dividir entre x² + 1: ese divisor tiene grado 2. En ese caso, utiliza la división de polinomios del bloque anterior.
3.7 La tabla también sirve para evaluar Cada resultado inferior combina el anterior con el siguiente coeficiente. El último coincide con P(a). Así, una tabla correcta da a la vez un cociente y el valor del polinomio en a. Si solo necesitas el resto, también puedes sustituir directamente en P(a).
3.7.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
3.8.1 Toda la tabla, con el proceso disponible Divide x³ − 4x² + x + 6 entre x − 2.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 −6 Sumamos 1 −2 −3 0
La fila final da C = x² − 2x − 3 y resto 0. Si no sabes de dónde sale alguna casilla, abre el siguiente desplegable.
Entender de dónde sale cada número Ruffini, casilla por casilla Abre los pasos en orden. La casilla resaltada muestra el número nuevo. No hay prisa: el patrón es bajar una vez y después alternar multiplicar y sumar.
1 · Prepara el signo y los coeficientes Divisor x − 2 → usamos a = 2. Escribe 1, −4, 1, 6: son los coeficientes de x³ − 4x² + x + 6, en ese orden. La tabla tiene una columna por cada potencia, incluido el número final.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos Sumamos
2 · Baja el primer coeficiente Copia el primer número, 1, en la fila inferior. No haces ninguna cuenta para obtenerlo: simplemente lo bajas.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos Sumamos 1
3 · Multiplica 1 por 2 Toma el número que acabas de escribir abajo: 1. Multiplícalo por a = 2: 1 · 2 = 2. Coloca ese 2 debajo del siguiente coeficiente, −4.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 Sumamos 1
4 · Suma la columna: −4 + 2 Ahora suma los dos números de esa columna: −4 + 2 = −2. Escribe −2 en la fila inferior. Ese será el número que usarás en la próxima multiplicación.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 Sumamos 1 −2
5 · Multiplica −2 por 2 El nuevo número de abajo es −2. Multiplica −2 · 2 = −4 y colócalo debajo del siguiente coeficiente, que es 1. No vuelvas al primer 1: siempre usas el último resultado de abajo.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 Sumamos 1 −2
6 · Suma la columna: 1 + (−4) 1 + (−4) = −3. Escribe −3 abajo. Sumar un número negativo equivale a restar: 1 − 4 = −3.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 Sumamos 1 −2 −3
7 · Multiplica −3 por 2 Multiplica el último resultado de abajo por 2: −3 · 2 = −6. Colócalo debajo del último coeficiente, 6.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 −6 Sumamos 1 −2 −3
8 · Suma la última columna 6 + (−6) = 0. Este último resultado tiene una función especial: es el resto de la división.
x³ x² x Número final a = 2 1 −4 1 6 Multiplicamos 2 −4 −6 Sumamos 1 −2 −3 0
9 · Convierte la fila inferior en una respuesta La fila final es 1, −2, −3, 0. Separa el último número, 0: es el resto. Los anteriores, 1, −2 y −3, son los coeficientes del cociente. Como dividiste un polinomio de grado 3 entre uno de grado 1, el cociente empieza en x².
C(x) = 1x² − 2x − 3 = x² − 2x − 3 · R = 0
Por tanto, x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3). El resto 0 indica que la división es exacta.
3.8.2 Falta una potencia Divide x³ − 5x + 2 entre x − 2. La lista de coeficientes es 1, 0, −5, 2.
Acción Cuenta Nuevo número de abajo Bajar Se copia 1 1 Multiplicar y sumar 1 · 2 = 2; 0 + 2 = 2 2 Multiplicar y sumar 2 · 2 = 4; −5 + 4 = −1 −1 Multiplicar y sumar −1 · 2 = −2; 2 − 2 = 0 0, que es el resto
El cociente es x² + 2x − 1. El resto es 0. El coeficiente 0 de x² era imprescindible para colocar bien las cuentas.
3.8.3 Un resto que no es cero Busca el resto de 2x³ − x² + 3x − 4 entre x + 1. El divisor se anula en −1, así que calcula P(−1).
2(−1)³ = 2 · (−1) = −2. −(−1)² = −1. Primero se eleva al cuadrado, después se aplica el signo de fuera. 3(−1) = −3; el término final es −4. Suma: −2 − 1 − 3 − 4 = −10. Resto: −10. La división no es exacta.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E19 · Inicio Divide x³ − 5x + 2 entre x − 2 usando Ruffini.
Necesito una pista Los coeficientes son 1, 0, −5, 2.
Solución razonada Por qué se hace así: Con a = 2, baja 1; 1 · 2 + 0 = 2; 2 · 2 − 5 = −1; −1 · 2 + 2 = 0. Los tres primeros resultados dan el cociente y el último es el resto. Resultado Fila final: 1, 2, −1, 0. Cociente x² + 2x − 1 y resto 0.
E20 · Inicio Usa Ruffini para dividir x³ – 8·x + 9 entre x – 2. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 2. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, 0, -8, 9. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 2: 2. Suma al coeficiente 0: 2. Multiplica 2 por 2: 4. Suma al coeficiente -8: -4. Multiplica -4 por 2: -8. Suma al coeficiente 9: 1. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 4; el último es el resto. P(2) = 1. Como no es 0, x – 2 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 4; R = 1.
E21 · Inicio Usa Ruffini para dividir x³ – x² – 11·x + 17 entre x – 3. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 3. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, -1, -11, 17. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 3: 3. Suma al coeficiente -1: 2. Multiplica 2 por 3: 6. Suma al coeficiente -11: -5. Multiplica -5 por 3: -15. Suma al coeficiente 17: 2. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 5; el último es el resto. P(3) = 2. Como no es 0, x – 3 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 5; R = 2.
E22 · Consolidación Halla el resto de dividir 2x³ − x² + 3x − 4 entre x + 1.
Necesito una pista Solución razonada Por qué se hace así: El divisor x + 1 se anula en −1. Sustituye ese valor en cada término, calcula primero las potencias y al final suma. El −10 no es una raíz: es el resto. E23 · Consolidación ¿Qué valor de k hace exacta la división de x³ + kx + 2 entre x − 1?
Necesito una pista Exacta significa P(1) = 0.
Solución razonada Por qué se hace así: Para que no sobre nada, el resto debe ser 0. El teorema del resto dice que ese resto es P(1). Resuelve 1 + k + 2 = 0 restando 3 en ambos lados. Resultado 1 + k + 2 = 0, así k = −3.
E24 · Consolidación Usa Ruffini para dividir x³ – 2·x² – 14·x + 27 entre x – 4. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 4. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, -2, -14, 27. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 4: 4. Suma al coeficiente -2: 2. Multiplica 2 por 4: 8. Suma al coeficiente -14: -6. Multiplica -6 por 4: -24. Suma al coeficiente 27: 3. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 6; el último es el resto. P(4) = 3. Como no es 0, x – 4 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 6; R = 3.
E25 · Consolidación Usa Ruffini para dividir x³ – 3·x² – 17·x + 39 entre x – 5. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 5. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, -3, -17, 39. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 5: 5. Suma al coeficiente -3: 2. Multiplica 2 por 5: 10. Suma al coeficiente -17: -7. Multiplica -7 por 5: -35. Suma al coeficiente 39: 4. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 7; el último es el resto. P(5) = 4. Como no es 0, x – 5 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 7; R = 4.
E26 · Reto Usa Ruffini para dividir x³ – 4·x² – 20·x + 53 entre x – 6. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 6. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, -4, -20, 53. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 6: 6. Suma al coeficiente -4: 2. Multiplica 2 por 6: 12. Suma al coeficiente -20: -8. Multiplica -8 por 6: -48. Suma al coeficiente 53: 5. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 8; el último es el resto. P(6) = 5. Como no es 0, x – 6 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 8; R = 5.
E27 · Reto Usa Ruffini para dividir x³ – 5·x² – 23·x + 69 entre x – 7. Interpreta el resto con el teorema del resto.
Necesito una pista El número de la izquierda es 7. Incluye los ceros si falta alguna potencia.
Solución razonada Coeficientes: 1, -5, -23, 69. Baja el primero: 1. Multiplica 1 por 7: 7. Suma al coeficiente -5: 2. Multiplica 2 por 7: 14. Suma al coeficiente -23: -9. Multiplica -9 por 7: -63. Suma al coeficiente 69: 6. Los tres primeros valores forman x² + 2·x – 9; el último es el resto. P(7) = 6. Como no es 0, x – 7 no es factor. Resultado C = x² + 2·x – 9; R = 6.
04 · Raíces y búsqueda de candidatos Conectar P(a) = 0 con los factores y buscar raíces sin probar al azar.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 4.1 Una raíz es un valor, no una fórmula nueva Una raíz de P es un número que, al ponerlo en la casilla x, hace que P valga 0. Para P(x) = x² − 4, x = 2 es raíz porque 2² − 4 = 0. También lo es −2, porque (−2)² − 4 = 0.
4.2 De la raíz al factor Si P(a) = 0, dividir entre x − a deja resto 0. Por eso x − a es un factor de P: puedes escribir P como (x − a) multiplicado por otro polinomio.
Raíz 2 → factor x − 2 · Raíz −2 → factor x + 2
-2 0 1 2 Raíz simple: −2 Raíz doble: 1 P(x) = (x + 2)(x − 1)² y x Raíces en una gráfica: el polinomio cruza el eje en −2 y toca el eje en 1, que es una raíz doble. Se muestra un tramo de la curva. 4.3 Cómo buscar sin probar cualquier número Cuando todos los coeficientes son enteros y el término independiente no es 0, una posible raíz entera debe dividir al término independiente. Si este es 6, empieza por ±1, ±2, ±3 y ±6. Después comprueba cada candidato sustituyéndolo o haciendo Ruffini.
Candidato no significa respuesta Que 3 divida al término independiente solo hace que merezca la pena probarlo. Será raíz únicamente si P(3) = 0. Si P(3) da otro número, lo descartas.
Si el término independiente es 0, normalmente puedes sacar x como factor: x³ − 4x = x(x² − 4). Así reconoces primero la raíz 0 y después estudias lo que queda.
4.3.1 Raíz simple y raíz doble, con un ejemplo En (x − 2)²(x + 3), la raíz 2 aparece dos veces porque hay dos factores x − 2. Se llama raíz doble. −3 aparece una vez y es simple. Hay dos raíces distintas, pero tres contando cuántas veces aparece cada una.
4.3.2 ¿Y las raíces que no son enteras? No encontrar raíces enteras no significa que no existan raíces. x² − 3 tiene raíces √3 y −√3. También puede haber fracciones: 2x² − 3x − 2 = (2x + 1)(x − 2) tiene raíces −1/2 y 2. Para buscar candidatos racionales p/q en fracción irreducible, p divide al término independiente y q al coeficiente principal, si los coeficientes son enteros.
4.3.3 Más profundidad: sin raíces reales no siempre significa irreducible x² + 1 no tiene raíces reales y no puede separarse en factores lineales reales. Pero x⁴ + 3x² + 2 sí se separa como (x² + 1)(x² + 2), aunque tampoco tenga raíces reales. Una raíz detecta un factor lineal; un polinomio también puede tener factores de grado 2.
4.4 Una lista de candidatos no es una lista de raíces Si los coeficientes son enteros, una raíz entera debe dividir al término independiente. Esto permite descartar infinitos enteros, pero cada candidato aún debe comprobarse. Con coeficiente principal distinto de 1, las posibles raíces racionales reducidas p/q cumplen que p divide al término independiente y q al coeficiente principal.
4.4.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
4.5.1 Ejemplo · Encontrar todas las raíces de un cúbico Tenemos P(x) = x³ − 4x² + x + 6. Como el número final es 6 y los coeficientes son enteros, preparamos ±1, ±2, ±3 y ±6.
Prueba 1: 1 − 4 + 1 + 6 = 4. No es raíz, porque no da 0. Prueba 2: 8 − 16 + 2 + 6 = 0. Sí es raíz. Por tanto, x − 2 es un factor. Divide con Ruffini, como en el bloque anterior. El cociente es x² − 2x − 3. Para separar el cuadrático, busca dos números que sumen −2 y cuyo producto sea −3. Son −3 y 1. Así x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Escribe P = (x − 2)(x − 3)(x + 1). El producto vale 0 si alguno de sus factores vale 0. De ahí salen las raíces 2, 3 y −1. Comprueba, por ejemplo, P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0.
¿Por qué no seguimos probando candidatos en el cúbico? Cuando encontramos un factor y dividimos, el problema se reduce. Ya sabemos que P = (x − 2)C. Las otras raíces se pueden buscar en el cociente C, que ahora tiene grado 2 y resulta más fácil.
4.5.2 Camino inverso: inventar un polinomio con raíces dadas Si quieres raíces 4 y −2, prepara los factores x − 4 y x + 2. Su producto es x² − 2x − 8. Al sustituir 4 se anula el primer factor; al sustituir −2 se anula el segundo.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E28 · Inicio ¿Es −2 raíz de x³ + x² − 4x − 4?
Necesito una pista Sustituye cuidando los signos de las potencias.
Solución razonada Por qué se hace así: Las potencias de −2 deben llevar paréntesis. Si la suma da 0, cumple la definición de raíz. La factorización permite comprobar también las otras raíces. Resultado Sí: −8 + 4 + 8 − 4 = 0. De hecho, P = (x + 1)(x − 2)(x + 2).
E29 · Inicio Para P(x) = (x – 2)²(x + 4), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 2 = 0 da x = 2. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 4 = 0 da x = -4, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 2 toca el eje sin cambiar de signo, y en -4 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 2 (doble), -4 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
E30 · Inicio Para P(x) = (x – 3)²(x + 5), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 3 = 0 da x = 3. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 5 = 0 da x = -5, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 3 toca el eje sin cambiar de signo, y en -5 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 3 (doble), -5 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
E31 · Consolidación Escribe un polinomio mónico de grado 3 con raíz doble 2 y raíz simple −3.
Necesito una pista Una raíz doble aporta (x − 2)².
Solución razonada Por qué se hace así: La raíz 2 necesita x − 2; como es doble, repites ese factor. La raíz −3 necesita x + 3. Para que sea mónico no añades otro coeficiente principal. E32 · Consolidación x² − 3 no tiene raíces enteras. ¿Es irreducible en los reales?
Necesito una pista No confundas raíz entera con raíz real.
Solución razonada Por qué se hace así: En ℝ, √3 es un número válido. Por eso los factores x − √3 y x + √3 existen como polinomios reales. No tener raíces enteras no descarta factores reales. E33 · Consolidación Para P(x) = (x – 4)²(x + 6), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 4 = 0 da x = 4. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 6 = 0 da x = -6, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 4 toca el eje sin cambiar de signo, y en -6 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 4 (doble), -6 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
E34 · Consolidación Para P(x) = (x – 5)²(x + 7), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 5 = 0 da x = 5. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 7 = 0 da x = -7, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 5 toca el eje sin cambiar de signo, y en -7 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 5 (doble), -7 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
E35 · Reto Para P(x) = (x – 6)²(x + 8), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 6 = 0 da x = 6. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 8 = 0 da x = -8, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 6 toca el eje sin cambiar de signo, y en -8 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 6 (doble), -8 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
E36 · Reto Para P(x) = (x – 7)²(x + 9), indica las raíces, sus multiplicidades, el grado y el coeficiente principal. Describe qué hace la gráfica en cada raíz.
Necesito una pista Un factor se anula cuando su paréntesis vale 0. Cuenta las copias.
Solución razonada x – 7 = 0 da x = 7. El factor se repite dos veces: multiplicidad 2. x + 9 = 0 da x = -9, de multiplicidad 1. El grado es 2 + 1 = 3; el coeficiente principal es 1. En 7 toca el eje sin cambiar de signo, y en -9 lo cruza: las multiplicidades son par e impar, respectivamente. Resultado Raíces: 7 (doble), -9 (simple); grado 3; coeficiente principal 1.
05 · Factorizar con una estrategia Elegir factor común, identidades, agrupación o búsqueda de raíces.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 5.1 Qué cambia al factorizar Desarrollar convierte un producto en una suma: (x − 2)(x + 2) → x² − 4. Factorizar recorre el camino contrario: x² − 4 → (x − 2)(x + 2). Ambas formas tienen el mismo valor, pero el producto permite ver raíces y cancelar factores en fracciones.
5.2 Una estrategia que evita empezar a ciegas Mira si todos los términos comparten un número o una potencia de x. Si es así, saca ese factor común. Mira si queda una diferencia de cuadrados o un cuadrado perfecto. Si hay cuatro términos, prueba a agruparlos de dos en dos para conseguir un factor repetido. Si no reconoces un patrón, busca una raíz y divide con Ruffini. Si llegas a un cuadrático, busca sus raíces y escribe sus factores. 5.3 Factor común: repartir un mismo multiplicador En 6x³ − 12x², los dos términos contienen 6x². Dividir cada término entre él deja x y −2. Por eso 6x³ − 12x² = 6x²(x − 2). Puedes comprobarlo repartiendo de nuevo 6x².
5.4 Diferencia de cuadrados x² − 16 es x² − 4². Tiene la forma a² − b², así que se convierte en (x − 4)(x + 4). La suma x² + 16 no sigue esa regla.
5.5 Agrupar: crear un factor común que antes no se veía En x³ + 2x² + 3x + 6, el primer par aporta x²(x + 2) y el segundo 3(x + 2). Ahora ambos contienen x + 2. Sacarlo da (x + 2)(x² + 3).
5.5.1 Un cuadrático: cómo encontrar sus raíces y escribir los factores Para ax² + bx + c, con a ≠ 0, identifica los tres coeficientes, con sus signos. Calcula Δ = b² − 4ac. Si Δ es no negativo, las raíces se obtienen con esta fórmula:
r = (−b ± √Δ)/(2a)
El símbolo ± te pide hacer dos cuentas: una sumando √Δ y otra restándolo. Si Δ > 0, salen dos raíces distintas y escribes a(x − r₁)(x − r₂). Si Δ = 0, las dos cuentas dan la misma raíz y queda a(x − r)². Si Δ < 0, la raíz cuadrada no existe en los reales y no hay factores lineales reales. Mira la sustitución completa en la pestaña Ejemplo.
No pierdas el número que multiplica todo 2x² − 5x + 2 tiene raíces 2 y 1/2. Su factorización es 2(x − 2)(x − 1/2), no solo el producto de los dos paréntesis. El coeficiente principal 2 debe conservarse.
5.5.2 Ampliación: suma y diferencia de cubos a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Por ejemplo, x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4). Comprueba el producto distribuyendo; no es una diferencia de cuadrados.
5.6 El conjunto de números cambia la respuesta x² – 2 no tiene raíces racionales, pero sí raíces reales ±√2. En ℝ se factoriza como (x – √2)(x + √2). Por el contrario, x² + 2 no tiene raíces reales: x² nunca es negativo. Decir «no se puede factorizar» necesita indicar en qué conjunto trabajas.
5.6.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
5.7.1 Dos decisiones, en orden Factoriza 2x⁴ − 8x².
Los dos términos contienen 2x². Sácalo: 2x²(x² − 4). Lo que queda es x² − 2². Usa diferencia de cuadrados: (x − 2)(x + 2). Resultado: 2x²(x − 2)(x + 2). Para hallar raíces, iguala los factores con x a cero: 0, 2 y −2. La raíz 0 es doble porque aparece x². El factor constante 2 no da una raíz. 5.7.2 Un cuadrático explicado Factoriza 2x² − 5x + 2. Aquí a = 2, b = −5 y c = 2.
Calcula Δ = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9. Sustituye en r = (−b ± √Δ)/(2a). Como b = −5, −b = 5; √9 = 3 y 2a = 4. Así las dos cuentas son [5 + 3]/4 = 2 y [5 − 3]/4 = 1/2. Conserva el coeficiente 2: 2(x − 2)(x − 1/2). Si prefieres evitar la fracción, junta 2 con x − 1/2: (x − 2)(2x − 1). Comprueba: (x − 2)(2x − 1) = 2x² − x − 4x + 2 = 2x² − 5x + 2.
5.7.3 Agrupación con signos x³ − x² − 4x + 4 = x²(x − 1) − 4(x − 1). En el segundo par se saca −4, porque −4(x − 1) = −4x + 4. Ahora saca x − 1: (x − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x − 2)(x + 2).
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E37 · Inicio Factoriza completamente 3x³ − 27x y señala sus raíces.
Necesito una pista Saca 3x y busca una diferencia de cuadrados.
Solución razonada Por qué se hace así: Los términos comparten 3x. Después x² − 9 es una diferencia de cuadrados. Las raíces salen al igualar cada factor con x a 0; el número constante 3 no aporta una raíz. Resultado 3x(x² − 9) = 3x(x − 3)(x + 3). Raíces 0, 3 y −3.
E38 · Inicio Factoriza completamente en ℝ: 2·x³ – 32·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 2x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 2x: 2x(x² – 16). 16 = 4², de modo que x² – 16 = (x – 4)(x + 4). Factorización: 2x(x – 4)(x + 4). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 4 o x = -4. Resultado 2x(x – 4)(x + 4); raíces 0, 4, -4.
E39 · Inicio Factoriza completamente en ℝ: 3·x³ – 75·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 3x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 3x: 3x(x² – 25). 25 = 5², de modo que x² – 25 = (x – 5)(x + 5). Factorización: 3x(x – 5)(x + 5). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 5 o x = -5. Resultado 3x(x – 5)(x + 5); raíces 0, 5, -5.
E40 · Consolidación Factoriza x³ + 3x² − 4x − 12.
Necesito una pista Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos.
Solución razonada Por qué se hace así: Saca x² del primer par y −4 del segundo. Así aparece x + 3 en los dos grupos. Ese es el factor que extraes antes de separar x² − 4. E41 · Consolidación Factoriza 3x² − 12 sobre ℝ. ¿Y x² + 4?
Necesito una pista No olvides el factor 3 y distingue suma de diferencia de cuadrados.
Solución razonada Por qué se hace así: El primer polinomio tiene factor común 3 y después una diferencia de cuadrados. Para x² + 4, x² es no negativo para todo real, así que la suma nunca vale 0 y no hay factores lineales reales. Resultado 3(x − 2)(x + 2). x² + 4 es irreducible sobre ℝ, porque no tiene raíces reales.
E42 · Consolidación Factoriza completamente en ℝ: 4·x³ – 144·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 4x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 4x: 4x(x² – 36). 36 = 6², de modo que x² – 36 = (x – 6)(x + 6). Factorización: 4x(x – 6)(x + 6). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 6 o x = -6. Resultado 4x(x – 6)(x + 6); raíces 0, 6, -6.
E43 · Consolidación Factoriza completamente en ℝ: 5·x³ – 245·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 5x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 5x: 5x(x² – 49). 49 = 7², de modo que x² – 49 = (x – 7)(x + 7). Factorización: 5x(x – 7)(x + 7). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 7 o x = -7. Resultado 5x(x – 7)(x + 7); raíces 0, 7, -7.
E44 · Reto Factoriza completamente en ℝ: 6·x³ – 384·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 6x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 6x: 6x(x² – 64). 64 = 8², de modo que x² – 64 = (x – 8)(x + 8). Factorización: 6x(x – 8)(x + 8). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 8 o x = -8. Resultado 6x(x – 8)(x + 8); raíces 0, 8, -8.
E45 · Reto Factoriza completamente en ℝ: 7·x³ – 567·x. Después obtiene sus raíces.
Necesito una pista Primero extrae 7x; luego reconoce una diferencia de cuadrados.
Solución razonada El factor común es 7x: 7x(x² – 81). 81 = 9², de modo que x² – 81 = (x – 9)(x + 9). Factorización: 7x(x – 9)(x + 9). Un producto vale 0 si algún factor vale 0: x = 0, x = 9 o x = -9. Resultado 7x(x – 9)(x + 9); raíces 0, 9, -9.
06 · Divisibilidad, MCD y MCM Usar factores para reconocer divisores y preparar denominadores comunes.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 6.1 Dividir exactamente significa ser un factor Si P = D · C y no hay resto, D es un divisor de P. Por ejemplo, x − 2 divide a x² − 4 porque x² − 4 = (x − 2)(x + 2). En cambio, x − 3 no lo divide: al sustituir 3, el resto es 9 − 4 = 5.
6.2 MCD: lo que comparten los dos polinomios El máximo común divisor reúne las piezas que están en ambas factorizaciones. Si un factor aparece dos veces en uno y tres en otro, los dos comparten dos copias. Por eso eliges el menor exponente.
6.3 MCM: lo necesario para contener a los dos El mínimo común múltiplo debe tener suficientes copias de cada factor para ser múltiplo de ambos. Si uno necesita dos copias y el otro tres, debes guardar tres. Por eso eliges el mayor exponente. Esto servirá para sumar fracciones con denominadores distintos.
A = (x − 1)²(x + 2) · B = (x − 1)(x + 2)³ MCD Factores comunes Menor exponente MCM Todos los factores Mayor exponente Guía visual de MCD y MCM para polinomios factorizados. Usamos representantes mónicos: coeficiente principal 1. Primero factoriza, después compara Es difícil reconocer las piezas comunes si solo ves x² − 1 y x² − 2x + 1. Escríbelos como (x − 1)(x + 1) y (x − 1)². Ahora las piezas compartidas quedan a la vista.
6.3.1 Qué quiere decir «mónico» aquí Un polinomio mónico tiene coeficiente principal 1. Para evitar distintas respuestas que solo cambian por una constante no nula, daremos el MCD y el MCM en forma mónica. Por ejemplo, x − 1 y 2x − 2 representan el mismo factor salvo un multiplicador constante; en nuestros resultados elegimos x − 1.
6.3.2 Si no comparten factores Su MCD mónico es 1. Por ejemplo, x − 1 y x + 1 no comparten ningún factor no constante. Su MCM es el producto (x − 1)(x + 1).
6.4 Cómo comprobar MCD y MCM sin desarrollarlos El MCD debe dividir exactamente a los dos polinomios. Ambos deben dividir al MCM. Si utilizas representantes mónicos, además se cumple MCD(A,B)·MCM(A,B) = A·B cuando A y B también son mónicos. Con otros coeficientes, puede aparecer un factor constante.
6.4.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
6.5.1 Ejemplo · Contar cuántas copias de cada factor hay Sean A = (x − 1)²(x + 2) y B = (x − 1)(x + 2)³.
Factor Copias en A Copias en B MCD: menor cantidad MCM: mayor cantidad x − 1 2 1 1 2 x + 2 1 3 1 3
El MCD toma una copia de cada factor: (x − 1)(x + 2). El MCM toma dos copias de x − 1 y tres de x + 2: (x − 1)²(x + 2)³.
Comprueba por qué el MCD divide a los dos A/MCD = x − 1 y B/MCD = (x + 2)². En los dos casos, al cancelar factores queda un polinomio. Esa es la divisibilidad que buscábamos.
6.5.2 Otro ejemplo · Hay que descubrir las piezas primero A = x² − 1 = (x − 1)(x + 1). B = x² − 2x + 1 = (x − 1)². Factor común: x − 1. Hay una copia en A y dos en B, así que el MCD usa una. Para el MCM, guarda dos copias de x − 1 y también el factor x + 1. MCD = x − 1 · MCM = (x − 1)²(x + 1)
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E46 · Inicio Calcula MCD y MCM mónicos de (x − 2)³(x + 1) y (x − 2)(x + 1)².
Necesito una pista Menores exponentes en el MCD; mayores en el MCM.
Solución razonada Por qué se hace así: Compara por separado las copias de x − 2 y de x + 1. Para compartir, basta la menor cantidad; para contener ambos polinomios, necesitas la mayor. E47 · Inicio Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 2)²(x + 4) y B = (x – 2)(x + 4)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 2 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 4 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 2)(x + 4). El MCM es (x – 2)²(x + 4)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. E48 · Inicio Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 3)²(x + 5) y B = (x – 3)(x + 5)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 3 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 5 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 3)(x + 5). El MCM es (x – 3)²(x + 5)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. E49 · Consolidación Halla MCD y MCM mónicos de x² − 9 y x² + 6x + 9.
Necesito una pista x² − 9 = (x − 3)(x + 3); el segundo es un cuadrado.
Solución razonada Por qué se hace así: El primer polinomio tiene x − 3 y x + 3; el segundo contiene dos copias de x + 3. Comparten una copia de x + 3. El MCM conserva las dos y también x − 3. E50 · Consolidación ¿x − 2 divide a x³ − 8? ¿Y x + 2?
Necesito una pista Usa el teorema del resto con 2 y −2.
Solución razonada Por qué se hace así: Un divisor lineal x − a divide exactamente si P(a) = 0. Para x + 2, el valor a es −2, no 2. Ese resto distinto de 0 descarta la divisibilidad. E51 · Consolidación Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 4)²(x + 6) y B = (x – 4)(x + 6)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 4 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 6 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 4)(x + 6). El MCM es (x – 4)²(x + 6)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. E52 · Consolidación Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 5)²(x + 7) y B = (x – 5)(x + 7)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 5 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 7 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 5)(x + 7). El MCM es (x – 5)²(x + 7)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. E53 · Reto Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 6)²(x + 8) y B = (x – 6)(x + 8)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 6 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 8 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 6)(x + 8). El MCM es (x – 6)²(x + 8)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. E54 · Reto Halla el MCD y el MCM mónicos de A = (x – 7)²(x + 9) y B = (x – 7)(x + 9)³.
Necesito una pista MCD: factores comunes con menor exponente; MCM: todos con el mayor.
Solución razonada El factor x – 7 tiene exponentes 2 y 1: mínimo 1, máximo 2. El factor x + 9 tiene exponentes 1 y 3: mínimo 1, máximo 3. El MCD es (x – 7)(x + 9). El MCM es (x – 7)²(x + 9)³. Los coeficientes principales son 1: ya son representantes mónicos. 07 · Fracciones algebraicas y restricciones Simplificar factores y conservar los valores excluidos del original.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 7.1 Una fracción con una casilla dentro Una fracción algebraica tiene polinomios arriba y abajo, como (x + 3)/x. Si pones x = 2, vale 5/2. Si pones x = 0, el denominador vale 0 y no puedes calcularla.
El dominio es el conjunto de valores de x que sí puedes utilizar. Para (x + 3)/x, sirve cualquier número real excepto 0. Lo anotamos como x ≠ 0. El símbolo ≠ significa «distinto de».
7.2 Busca los valores prohibidos antes de simplificar En (x² − 9)/(x² − 3x), el denominador es x(x − 3). Ese producto vale 0 cuando x = 0 o x = 3. Por tanto, ambos valores están excluidos desde el principio.
7.3 Cancelar: quitar un factor repetido arriba y abajo En una fracción de números, 6/9 = (3 · 2)/(3 · 3) = 2/3. Se cancela el factor común 3. Con polinomios sucede lo mismo, pero primero debes escribir las expresiones como productos.
Cancelar no significa borrar letras iguales Solo puedes cancelar un factor que multiplique a todo el numerador y a todo el denominador. En (x + 1)/x, la x de arriba es un sumando, no un factor de todo el numerador. No puedes tacharla.
7.4 Una condición no desaparece por dejar de verla (x² − x − 2)/(x − 2) se convierte en (x − 2)(x + 1)/(x − 2). Para x ≠ 2, cancela el factor común y queda x + 1. Pero x = 2 sigue sin estar permitido: en la fracción original produciría 0/0.
2 3 Hueco: (2, 3) x = 2 sigue excluido. Para x ≠ 2, vale x + 1. y = (x² − x − 2)/(x − 2) x Simplificar no rellena un hueco: (x² − x − 2)/(x − 2) coincide con x + 1 solo para x ≠ 2. 7.4.1 Ver la diferencia usando números concretos Con x = 3, la fracción original vale (9 − 3 − 2)/(3 − 2) = 4 y x + 1 también vale 4. Con x = 2, x + 1 vale 3, pero la fracción original no existe. Por eso la respuesta correcta es x + 1, con x ≠ 2.
7.4.2 Qué significa que dos fracciones sean equivalentes Significa que dan el mismo valor para los valores permitidos que estás considerando. Si sus dominios originales son distintos, hay que explicarlo. Simplificar conserva los valores de la expresión donde estaba definida; no añade valores nuevos.
7.5 Una expresión y su dominio forman una pareja (x² – 1)/(x – 1) y x + 1 dan el mismo valor para x ≠ 1. Como funciones con sus dominios naturales no son exactamente la misma: la primera tiene un hueco en 1. En una simplificación, escribe siempre la expresión nueva junto con las restricciones de la original.
7.5.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
7.6.1 Simplificar y guardar las restricciones Simplifica (x² − 9)/(x² − 3x).
Factoriza el denominador: x² − 3x = x(x − 3). No puedes usar 0 ni 3. Anota x ≠ 0, 3. Factoriza el numerador: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Escribe la fracción como [(x − 3)(x + 3)]/[x(x − 3)]. El factor x − 3 aparece multiplicando arriba y abajo. En el dominio permitido, no es 0, así que puedes cancelarlo. Queda (x + 3)/x. Conserva las dos restricciones, aunque ahora solo veas x en el denominador. Resultado: (x + 3)/x, con x ≠ 0, 3
7.6.2 Cancelar solo una copia (x² − 4)/(x² + 4x + 4) = [(x − 2)(x + 2)]/(x + 2)². El denominador original se anula en −2, así que lo excluyes. Arriba hay una copia de x + 2 y abajo hay dos. Solo puedes cancelar una; queda (x − 2)/(x + 2), con x ≠ −2.
7.6.3 Cancelar un factor que estaba escondido (x² + x)/x sí permite cancelar, porque x² + x = x(x + 1). Queda [x(x + 1)]/x = x + 1, con x ≠ 0. La diferencia con (x + 1)/x es que allí no hay una x multiplicando a todo el numerador.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E55 · Inicio Simplifica (x² − 1)/(x² − x).
Necesito una pista Factoriza ambos y apunta los ceros del denominador original.
Solución razonada Por qué se hace así: Escribe x² − 1 como (x − 1)(x + 1) y x² − x como x(x − 1). Cancela x − 1, pero mantén 0 y 1 excluidos por el denominador original. Resultado (x − 1)(x + 1)/[x(x − 1)] = (x + 1)/x, con x ≠ 0, 1.
E56 · Inicio Simplifica (x² – 4)/(x² – 2·x), indica las restricciones originales y explica si se puede usar x = 2 al final.
Necesito una pista Factoriza antes de cancelar. Los valores excluidos no se recuperan.
Solución razonada Denominador: x(x – 2), por tanto x ≠ 0 y x ≠ 2. Numerador: (x – 2)(x + 2). Cancela el factor x – 2. Queda (x + 2)/x. El resultado mantiene x ≠ 0, 2. En x = 2 la expresión original era 0/0 y no existía. Resultado (x + 2)/x, con x ≠ 0, 2.
E57 · Inicio Simplifica (x² – 9)/(x² – 3·x), indica las restricciones originales y explica si se puede usar x = 3 al final.
Necesito una pista Factoriza antes de cancelar. Los valores excluidos no se recuperan.
Solución razonada Denominador: x(x – 3), por tanto x ≠ 0 y x ≠ 3. Numerador: (x – 3)(x + 3). Cancela el factor x – 3. Queda (x + 3)/x. El resultado mantiene x ≠ 0, 3. En x = 3 la expresión original era 0/0 y no existía. Resultado (x + 3)/x, con x ≠ 0, 3.
E58 · Consolidación Simplifica (x² + 2x + 1)/(x² − 1).
Necesito una pista El numerador es un cuadrado perfecto.
Solución razonada Por qué se hace así: El numerador contiene dos copias de x + 1 y el denominador una. Se cancela una sola copia. El −1 sigue excluido aunque deje de verse abajo. Resultado (x + 1)²/[(x − 1)(x + 1)] = (x + 1)/(x − 1), con x ≠ −1, 1.
E59 · Consolidación Simplifica (2x − 4)/(x − 2). ¿Vale en x = 2?
Necesito una pista El numerador es 2(x − 2).
Solución razonada Por qué se hace así: Primero apunta x ≠ 2. Luego escribe el numerador como 2(x − 2) y cancela el factor x − 2. El 2 que queda es el valor en todo el dominio permitido, no en el valor excluido. Resultado Resultado 2, con x ≠ 2. En x = 2 la expresión original es 0/0 y no está definida.
E60 · Consolidación Simplifica (x² – 16)/(x² – 4·x), indica las restricciones originales y explica si se puede usar x = 4 al final.
Necesito una pista Factoriza antes de cancelar. Los valores excluidos no se recuperan.
Solución razonada Denominador: x(x – 4), por tanto x ≠ 0 y x ≠ 4. Numerador: (x – 4)(x + 4). Cancela el factor x – 4. Queda (x + 4)/x. El resultado mantiene x ≠ 0, 4. En x = 4 la expresión original era 0/0 y no existía. Resultado (x + 4)/x, con x ≠ 0, 4.
E61 · Consolidación Simplifica (x² – 25)/(x² – 5·x), indica las restricciones originales y explica si se puede usar x = 5 al final.
Necesito una pista Factoriza antes de cancelar. Los valores excluidos no se recuperan.
Solución razonada Denominador: x(x – 5), por tanto x ≠ 0 y x ≠ 5. Numerador: (x – 5)(x + 5). Cancela el factor x – 5. Queda (x + 5)/x. El resultado mantiene x ≠ 0, 5. En x = 5 la expresión original era 0/0 y no existía. Resultado (x + 5)/x, con x ≠ 0, 5.
E62 · Reto Simplifica (x² – 36)/(x² – 6·x), indica las restricciones originales y explica si se puede usar x = 6 al final.
Necesito una pista Factoriza antes de cancelar. Los valores excluidos no se recuperan.
Solución razonada Denominador: x(x – 6), por tanto x ≠ 0 y x ≠ 6. Numerador: (x – 6)(x + 6). Cancela el factor x – 6. Queda (x + 6)/x. El resultado mantiene x ≠ 0, 6. En x = 6 la expresión original era 0/0 y no existía. Resultado (x + 6)/x, con x ≠ 0, 6.
08 · Operar fracciones algebraicas Sumar, restar, multiplicar y dividir revisando el dominio completo.
Vista del bloque Aprende Ejemplos Practica 8.1 Las mismas operaciones de las fracciones numéricas Para sumar 1/2 + 1/3 no sumas 2 y 3 en el denominador. Buscas un denominador común: 3/6 + 2/6 = 5/6. Con expresiones algebraicas haces lo mismo.
8.2 Sumar o restar, en cuatro movimientos Anota qué valores hacen 0 los denominadores originales. Factoriza esos denominadores y encuentra uno que contenga todos los factores necesarios. El MCM suele evitar trabajo. Transforma cada fracción multiplicando arriba y abajo por el factor que le falta. Suma o resta los numeradores completos y conserva el denominador común. Después simplifica si se puede. Por ejemplo, 1/x + 1/(x + 1) tiene denominador común x(x + 1). La primera fracción necesita x + 1 arriba y abajo; la segunda necesita x. Así queda [(x + 1) + x]/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)].
8.3 Multiplicar: factoriza y cancela antes de desarrollar Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Si ves factores iguales arriba y abajo, puedes cancelarlos. Suele ser más cómodo mantener productos que desarrollar todo y tener que factorizar después.
8.4 Dividir: da la vuelta a la segunda fracción Como en 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 · 4/3, una división de fracciones se transforma en multiplicar por la inversa. La inversa de (x + 2)/(x − 1) es (x − 1)/(x + 2). Pero la fracción que inviertes debe existir y no valer 0.
Tres comprobaciones al dividir A/B entre C/D B no puede ser 0: la primera fracción debe existir. D no puede ser 0: la segunda también debe existir. C no puede ser 0: la segunda fracción no puede valer 0, porque estás dividiendo entre ella.
8.4.1 Un ejemplo numérico de la condición extra En [x/(x − 1)] ÷ [(x + 2)/(x − 1)], x = 1 está prohibido porque anula los denominadores. x = −2 también está prohibido: la segunda fracción valdría 0/(−3) = 0, y no puedes dividir entre cero. Esa segunda prohibición no se ve mirando solo los denominadores.
8.4.2 Lista de control antes de dar la respuesta He apuntado las restricciones de los denominadores originales. Si hay división, también he excluido los ceros de la fracción divisora. He operado con factores o con un denominador común. Si había una resta, he cambiado todos los signos del numerador que restaba. He simplificado y he mantenido las condiciones iniciales. 8.5 Comprueba si el resultado tiene sentido Después de operar, elige un número permitido y calcula la expresión inicial y la final: deben coincidir. Es una comprobación útil para encontrar errores de signo, aunque no demuestra por sí sola que la transformación sea correcta para todos los valores.
8.5.1 Comprueba que lo has entendido Explica con tus palabras la idea anterior y pon un ejemplo distinto. Si solo recuerdas la fórmula, vuelve al ejemplo resuelto y justifica por qué es válido cada paso.
8.6.1 Sumar sin saltarse los multiplicadores Calcula 2/(x − 1) + 3/(x + 1).
Restricciones: x ≠ 1 y x ≠ −1. Denominador común: (x − 1)(x + 1). A la primera fracción le falta x + 1: se convierte en 2(x + 1)/[(x − 1)(x + 1)]. A la segunda le falta x − 1: se convierte en 3(x − 1)/[(x − 1)(x + 1)]. Suma los numeradores: 2x + 2 + 3x − 3 = 5x − 1. (5x − 1)/(x² − 1), con x ≠ −1, 1
8.6.2 Producto con factores visibles Calcula [(x² − 4)/(x² − 1)] · [(x + 1)/(x − 2)].
Los denominadores originales excluyen −1, 1 y 2. Factoriza: [(x − 2)(x + 2)]/[(x − 1)(x + 1)] · [(x + 1)/(x − 2)]. En el producto completo, cancela una copia de x − 2 y una de x + 1 arriba y abajo. Queda (x + 2)/(x − 1), con x ≠ −1, 1, 2. 8.6.3 Dividir conservando todas las condiciones Calcula [(x + 1)/(x − 2)] ÷ [(x² − 1)/(x − 2)].
Los dos denominadores excluyen 2. El numerador del divisor es x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Se anula en 1 y −1: también los excluyes, para no dividir entre cero. Invierte la segunda fracción: [(x + 1)/(x − 2)] · [(x − 2)/((x − 1)(x + 1))]. Cancela los factores repetidos x − 2 y x + 1. Queda 1/(x − 1), con x ≠ −1, 1, 2. Resultado y dominio son la respuesta completa Aunque 1/(x − 1) sí se pudiera calcular en −1 y 2, la operación original no. No recuperes esos valores al final.
Nivel de práctica Todos Inicio Consolidación Reto E63 · Inicio Calcula 3/(x − 1) − 2/(x + 1).
Necesito una pista En el numerador tendrás 3(x + 1) − 2(x − 1).
Solución razonada Por qué se hace así: El denominador común es (x − 1)(x + 1). El numerador queda 3(x + 1) − 2(x − 1) = 3x + 3 − 2x + 2 = x + 5. Resultado (x + 5)/(x² − 1), con x ≠ −1, 1.
E64 · Inicio Calcula 2/(x – 1) – 4/(x + 1). Indica todas las restricciones.
Necesito una pista Escribe el numerador restado entre paréntesis.
Solución razonada Los denominadores excluyen 1 y -1. Denominador común: (x – 1)(x + 1) = x² – 1. Numerador: 2(x + 1) – 4(x – 1). Distribuye conservando el signo menos: 2x + 2 – 4x + 4 = 6 – 2·x. Ningún factor x – 1 o x + 1 se cancela: al sustituir 1 y -1 el numerador no vale cero. Resultado (6 – 2·x)/(x² – 1), x ≠ -1, 1.
E65 · Inicio Calcula 3/(x – 1) – 5/(x + 1). Indica todas las restricciones.
Necesito una pista Escribe el numerador restado entre paréntesis.
Solución razonada Los denominadores excluyen 1 y -1. Denominador común: (x – 1)(x + 1) = x² – 1. Numerador: 3(x + 1) – 5(x – 1). Distribuye conservando el signo menos: 3x + 3 – 5x + 5 = 8 – 2·x. Ningún factor x – 1 o x + 1 se cancela: al sustituir 1 y -1 el numerador no vale cero. Resultado (8 – 2·x)/(x² – 1), x ≠ -1, 1.
E66 · Consolidación Simplifica [(x² − 4)/(x² − x − 2)] · [(x − 2)/(x + 2)].
Necesito una pista x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
Solución razonada Por qué se hace así: Antes de cancelar, excluye 2 y −1 por el primer denominador y −2 por el segundo. Factoriza y reúne el producto: se cancelan x + 2 y una copia de x − 2. Conserva las tres exclusiones. Resultado (x − 2)/(x + 1), con x ≠ 2, −1, −2. El 2 sigue excluido aunque se cancele en el primer factor.
E67 · Consolidación Calcula [x/(x − 1)] ÷ [(x + 2)/(x − 1)].
Necesito una pista El divisor no existe en 1 y vale cero en −2.
Solución razonada Por qué se hace así: El valor 1 anula los denominadores. El −2 anula el numerador de la segunda fracción y haría que dividieses entre cero. Invierte esa fracción, cancela x − 1 y conserva ambas exclusiones. Resultado x/(x + 2), con x ≠ 1, −2.
E68 · Consolidación Calcula 4/(x – 1) – 6/(x + 1). Indica todas las restricciones.
Necesito una pista Escribe el numerador restado entre paréntesis.
Solución razonada Los denominadores excluyen 1 y -1. Denominador común: (x – 1)(x + 1) = x² – 1. Numerador: 4(x + 1) – 6(x – 1). Distribuye conservando el signo menos: 4x + 4 – 6x + 6 = 10 – 2·x. Ningún factor x – 1 o x + 1 se cancela: al sustituir 1 y -1 el numerador no vale cero. Resultado (10 – 2·x)/(x² – 1), x ≠ -1, 1.
E69 · Consolidación Calcula 5/(x – 1) – 7/(x + 1). Indica todas las restricciones.
Necesito una pista Escribe el numerador restado entre paréntesis.
Solución razonada Los denominadores excluyen 1 y -1. Denominador común: (x – 1)(x + 1) = x² – 1. Numerador: 5(x + 1) – 7(x – 1). Distribuye conservando el signo menos: 5x + 5 – 7x + 7 = 12 – 2·x. Ningún factor x – 1 o x + 1 se cancela: al sustituir 1 y -1 el numerador no vale cero. Resultado (12 – 2·x)/(x² – 1), x ≠ -1, 1.
E70 · Reto Calcula 6/(x – 1) – 8/(x + 1). Indica todas las restricciones.
Necesito una pista Escribe el numerador restado entre paréntesis.
Solución razonada Los denominadores excluyen 1 y -1. Denominador común: (x – 1)(x + 1) = x² – 1. Numerador: 6(x + 1) – 8(x – 1). Distribuye conservando el signo menos: 6x + 6 – 8x + 8 = 14 – 2·x. Ningún factor x – 1 o x + 1 se cancela: al sustituir 1 y -1 el numerador no vale cero. Resultado (14 – 2·x)/(x² – 1), x ≠ -1, 1.
Ocho comprobaciones rápidas Respuestas numéricas cortas. Si fallas, revisa la explicación y vuelve a intentarlo.
Juegos y retos Juego 1 · Empareja formas Relaciona cada tarjeta A-D con su equivalente 1-4. Un punto por pareja y otro por explicar cómo comprobarla: máximo 8.
Tarjeta Expresión A x² − 4x + 4 B x² − 25 C x³ + 3x² + 2x + 6 D 2x² − 8x
1 · 2x(x − 4) 2 · (x + 3)(x² + 2) 3 · (x − 2)² 4 · (x − 5)(x + 5) Ver las parejas A-3: cuadrado perfecto. B-4: diferencia de cuadrados. C-2: agrupación. D-1: factor común. Comprueba cada pareja desarrollando.
Juego 2 · Detective de errores Estas cinco afirmaciones son falsas. Encuentra el error y corrígelo; dos puntos por corrección completa: máximo 10.
(x + 3)² = x² + 9. Para dividir entre x + 2, Ruffini usa 2. Si 3 divide al término independiente, 3 siempre es raíz. (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 para todos los reales. En una división de fracciones, solo hay que mirar los denominadores. Abrir el informe 1: falta 6x. 2: se usa −2. 3: es un candidato, no una raíz garantizada. 4: solo para x ≠ 1. 5: el divisor tampoco puede valer cero.
Juego 3 · Código de salida Cada resultado es una cifra: A es el grado de x⁴ − x + 1; B es el resto de x² + 2 entre x − 1; C es el valor de x² − 1 en x = 3; D es el número de raíces distintas de (x − 2)². Escribe ABCD.
Pista Para B sustituye 1. Para D una raíz doble cuenta como una sola raíz distinta.
Revelar el código A = 4, B = 3, C = 8, D = 1. Código: 4381.
Proyecto: diseña un marco Diseñamos un marco cuadrado para una exposición. Su lado exterior mide x + 4 cm y el hueco interior mide x cm, con x > 0. Los datos son inventados para practicar.
a) Escribe y desarrolla el área del material del marco. b) Factoriza ese polinomio de área. c) Calcula el área cuando x = 6. d) Divide el polinomio de área entre x + 2. ¿Cuál es el resto? e) Calcula la razón entre el área del marco y el perímetro exterior, y simplifica. f) Indica el dominio algebraico de la razón y el dominio físico del problema. Explica la diferencia. Pistas del proyecto Área: cuadrado grande menos pequeño. Perímetro exterior: 4(x + 4). En la división, aplica el teorema del resto con −2.
Solución del proyecto a) A = (x + 4)² − x² = 8x + 16 cm². b) 8(x + 2). c) A(6) = 64 cm². d) A/(x + 2) tiene cociente 8 y resto 0; A(−2) = 0. e) A/[4(x + 4)] = 2(x + 2)/(x + 4), con unidad cm. f) La razón algebraica original está definida para x ≠ −4. El modelo físico exige x > 0. Usar x = −2 para comprobar el resto es válido algebraicamente, aunque no represente un marco real.
Un paso más Ampliación A · Sin raíces y reducible Factoriza x⁴ + 5x² + 4 en los reales y explica por qué no tiene raíces reales.
Necesito una pista Trata x² como una pieza y busca dos números cuyo producto sea 4 y suma 5.
Ver solución razonada (x² + 1)(x² + 4). Ambos factores son positivos para todo real x; no hay raíces reales, pero el polinomio es reducible.
Ampliación B · Divisor con coeficiente Divide 2x² + 3x + 1 entre 2x + 1.
Necesito una pista Ruffini con −1/2 produce un cociente que debes dividir entre 2.
Ver solución razonada C = x + 1, R = 0. Comprobación: (2x + 1)(x + 1) = 2x² + 3x + 1.
Ampliación C · Una igualdad con hueco Simplifica [1/(x − 1) − 1/(x + 1)] ÷ [2/(x² − 1)] y da el dominio.
Necesito una pista La diferencia del primer paréntesis coincide con la fracción divisora.
Ver solución razonada Resultado 1, con x ≠ −1, 1. El divisor no puede ser cero, pero su numerador constante 2 nunca se anula en el dominio.
Mapa de repaso Cuando necesites… Haz esto Sumar o restar Agrupa semejantes; el menos cambia todos los signos. Dividir Ordena y completa ceros. Comprueba P = DC + R. Usar Ruffini Solo x − a directamente; el número es a. Calcular un resto Sustituye a si divides entre x − a. Buscar raíces Prueba candidatos; no des por segura ninguna raíz. Factorizar Factor común, identidades, agrupación o Ruffini. Hallar MCD/MCM Factoriza y usa menor/mayor exponente; forma mónica. Simplificar una fracción Cancela factores y conserva exclusiones originales. Dividir fracciones Invierte el divisor, que debe existir y no valer cero.
Esquema específico: buscar raíces y factorizar Reduce y ordena el polinomio. Extrae factores comunes y reconoce identidades. Si procede, prepara candidatos enteros o racionales. Comprueba P(a); si es 0, divide por x − a. Repite sobre el cociente y analiza el cuadrático final. Desarrolla el producto obtenido para verificarlo. Esquema específico: fracciones con dominio Factoriza los denominadores originales. Anota todos sus ceros como valores excluidos. Si hay división, añade los ceros del numerador del divisor. Busca denominador común o cancela factores según la operación. Reduce y conserva las restricciones junto al resultado. Diccionario rápido para no perderte Palabra En lenguaje sencillo Coeficiente El número que multiplica una potencia de x. Grado La mayor potencia que queda después de reducir. Factor Una pieza que multiplica a otra en un producto. Raíz Un valor de x que hace que el polinomio valga 0. Resto Lo que sobra después de dividir. Dominio Los valores de x que están permitidos. Restricción Un valor que debes excluir porque la expresión no se puede calcular. Mónico Con coeficiente principal 1. Factorizar Cambiar una suma por un producto equivalente.
Autoevaluación razonada Haz estas diez preguntas antes de abrir las soluciones. Cuenta un punto por respuesta con procedimiento correcto; en las fracciones, el dominio forma parte de la respuesta.
1. Reduce 4x² − 3x + 2 − (x² + 2x − 1). Comprobar 2. Desarrolla (x − 4)². Comprobar 3. Halla cociente y resto de x² + x + 1 entre x + 1. Comprobar 4. Halla el resto de x³ − 2x + 4 entre x − 2. Comprobar 5. ¿Es −1 raíz de x³ + 2x² − x − 2? Comprobar 6. Factoriza x² − 5x + 6. Comprobar 7. Da MCD y MCM mónicos de x² − 1 y x − 1. Comprobar MCD = x − 1; MCM = (x − 1)(x + 1).
8. Simplifica (x² − 4)/(x − 2) con dominio. Comprobar 9. Calcula 1/x + 1/(x + 2). Comprobar (2x + 2)/[x(x + 2)], con x ≠ 0, −2.
10. Calcula [1/(x − 1)] ÷ [x/(x − 1)] con dominio. Comprobar 1/x, con x ≠ 1, 0. El divisor se anula en 0.
Tu siguiente paso 0-4: repasa los bloques que has fallado. 5-7: repite esos ejercicios sin pistas. 8-10: intenta las ampliaciones y explica una simplificación sin olvidar sus restricciones. La puntuación es una orientación de estudio, no una nota oficial.
