Los números reales.

Una pregunta para empezar: ¿se puede escribir como fracción?

Un número racional puede escribirse como a/b, donde a y b son enteros y b no es cero. Por ejemplo, 5 es racional porque 5 = 5/1, y 0,125 es racional porque 0,125 = 125/1000 = 1/8. La definición no exige que veas una barra de fracción en el enunciado: exige que puedas escribir una fracción que valga exactamente lo mismo.

Un número irracional es un número real que no puede escribirse como esa fracción de enteros. √2 y π son ejemplos. Sus decimales no terminan y no repiten para siempre un mismo bloque a partir de algún punto. Ver muchos decimales en la calculadora no basta para decidir: necesitas conocer el número o cómo se define su desarrollo decimal.

Convertir un decimal en fracción, sin memorizar una receta vacía

Con un decimal exacto, quita la coma y divide entre 10, 100, 1000… según el número de cifras decimales. Después simplifica. Con un periódico, la idea es desplazar las cifras y restar dos expresiones cuyo período coincida. En los ejemplos verás por qué funciona.

Las raíces: primero comprueba si son exactas

√49 = 7, así que es racional. √50 no es una raíz entera y es irracional. Para la raíz cuadrada de un entero no negativo, basta comprobar si el número es un cuadrado perfecto: 0, 1, 4, 9, 16, 25… Para una raíz cúbica de un entero, busca un cubo perfecto: 1, 8, 27, 64… No apliques la regla del cuadrado a todos los índices.

Los conjuntos encajan unos dentro de otros

Los naturales sirven para contar; los enteros añaden los negativos; los racionales añaden todas las fracciones de enteros; los reales incluyen los racionales y los irracionales. Usaremos ℕ = {0, 1, 2, 3…}. Si tu clase reserva ℕ para empezar en 1, indícalo al clasificar el cero: es una convención, no un cambio de valor.

Pertenecer a un conjunto pequeño implica pertenecer a los que lo contienen. El 4 es natural, entero, racional y real. Si un ejercicio pide el conjunto más pequeño, responde ℕ; si pide todos, escribe los cuatro. Un irracional es real, pero no pertenece a ℚ.

Ordenar es decidir quién queda a la izquierda

En la recta real los números aumentan hacia la derecha. -5 es menor que -2 porque queda más a la izquierda. Entre negativos, un valor absoluto más grande significa que el número está más lejos del cero hacia la izquierda.

1. Simplifica las expresiones cuando sea posible.
2. Compara fracciones con un denominador común o utiliza aproximaciones suficientes.
3. Coloca primero los negativos; después cero y positivos.
4. Escribe el orden con <, de menor a mayor.

Para comparar raíces de números no negativos puedes comparar sus radicandos: como 2 < 3, también √2 < √3. Para decidir si √10 supera a 3, observa que 3² = 9 < 10, por tanto √10 > 3. Al cuadrar para comparar debes controlar el signo: no sirve tratar dos números negativos como si fueran positivos.

Valor absoluto: distancia al cero

Una distancia no es negativa: |5| = 5, |-5| = 5 y |0| = 0. La distancia entre dos números a y b es |a – b|. Puedes restar en cualquiera de los dos órdenes porque el valor absoluto elimina el signo del resultado.

Un intervalo reúne todos los números de un tramo

La condición 2 < x < 5 no pide un único valor: incluye todos los reales entre 2 y 5, sin los extremos. Se escribe (2, 5). Cada extremo tiene una decisión independiente: ¿entra o no entra?

En un dibujo, un círculo vacío significa que el extremo no entra; un círculo lleno significa que entra. Algunas clases usan ]a, b[ para el abierto: representa lo mismo que (a, b).

Semirrectas: cuando un lado no tiene límite

Unión e intersección: dos preguntas distintas

La unión, A ∪ B, recoge los números que están en A o en B, incluyendo los que están en ambos. La intersección, A ∩ B, recoge solo los que cumplen las dos condiciones a la vez. Dibuja ambos conjuntos en líneas paralelas si te cuesta ver dónde coinciden.

Entorno: estar cerca de un centro

El entorno abierto de centro c y radio r > 0 incluye los números cuya distancia a c es menor que r: |x – c| < r. Sus extremos son c – r y c + r; se escribe (c – r, c + r). Un entorno reducido quita además el propio centro.

Potencias: las reglas cuentan factores

aⁿ, con n natural positivo, significa multiplicar n copias de a. Al multiplicar potencias de la misma base juntamos sus factores; por eso se suman exponentes. Al elevar una potencia a otra se repite cada grupo; por eso los exponentes se multiplican.

El signo y los paréntesis importan: (-2)² = 4, pero -2² = -(2²) = -4. En el segundo caso la potencia afecta al 2 y el menos queda fuera.

Qué significa una raíz

√a es el número no negativo cuyo cuadrado es a, para a ≥ 0. Por ejemplo, √25 = 5. La ecuación x² = 25 tiene dos soluciones, 5 y -5, pero el símbolo √25 representa solo 5. En las raíces de índice par el radicando debe ser no negativo para trabajar en los reales. Con índice impar también puedes usar negativos: ∛(-8) = -2.

En esta fórmula el exponente es la fracción m/n completa: a^m/n. Si el exponente es negativo, además aparece el inverso. Para evitar ambigüedades con bases negativas y fracciones, aplicaremos las reglas de exponentes fraccionarios con base positiva.

Simplificar: sacar grupos completos

Para una raíz cuadrada, cada pareja de factores iguales puede salir como un factor. √72 = √(36 · 2) = 6√2. Para una raíz cúbica, necesitas grupos de tres: ∛(54) = ∛(27 · 2) = 3∛2. El factor que queda dentro no se borra.

Sumar y multiplicar son operaciones diferentes

Solo sumas radicales semejantes: mismo índice y mismo radicando después de simplificar. 3√2 + 5√2 = 8√2. En cambio, √2 + √3 no se convierte en √5. Para multiplicar raíces cuadradas con radicandos no negativos: √a · √b = √(ab). Para dividirlas exige además b > 0.

Racionalizar: cambiar la forma, no el valor

Racionalizar consiste en escribir una fracción equivalente sin raíz en el denominador. Multiplica arriba y abajo por el mismo factor no nulo. Si hay un binomio, usa su conjugado: a + b y a – b cumplen (a + b)(a – b) = a² – b².

Aproximar es reemplazar un valor por otro cercano

En un cálculo puedes necesitar una forma exacta, como √2, o una aproximación decimal, como 1,414. Son dos respuestas diferentes. El número de cifras que conserves depende del uso y de la precisión que te pidan.

Truncar y redondear, con un criterio claro

Para truncar a n decimales, elimina las cifras posteriores sin cambiar las anteriores. Para redondear, observa la primera cifra que eliminas: si es menor que 5, mantén; si es 5 o mayor, aumenta en una unidad la última cifra conservada en el valor absoluto y después recupera el signo. Usaremos esa convención escolar, que en los empates redondea alejándose de cero.

La escritura 3,00 indica que hemos redondeado a centésimas. Aunque vale lo mismo que 3, comunica la precisión con la que se presenta el resultado.

Error absoluto: cuánto te has separado

Si el valor real es 80 y usas 78, el error absoluto es |80 – 78| = 2. Tiene las mismas unidades que la magnitud: si hablamos de centímetros, son 2 cm. No escribas un error negativo.

Error relativo: compara el error con el tamaño del valor

En el ejemplo, 2/80 = 0,025. Para expresarlo como porcentaje, multiplica por 100: 2,5 %. Este cociente permite comparar aproximaciones de magnitudes distintas. Un error de 2 cm es pequeño frente a 80 cm, pero muy grande frente a 4 cm. Si el valor exacto es cero, no se puede calcular el error relativo con esta fórmula.

Cotas: límites del error cuando no conoces todas las cifras

Al redondear a n decimales, el error absoluto es como máximo la mitad de una unidad de ese orden: Eₐ ≤ 0,5 · 10^-n. A centésimas, como máximo 0,005. Al truncar, Eₐ < 10^-n: a centésimas, menos de 0,01. Estas cotas no son el error exacto de cada caso: son límites que sabemos sin calcularlo.

Dos partes que hacen trabajos distintos

El coeficiente a conserva las cifras importantes; la potencia de 10 indica la escala. Para números positivos, el coeficiente está entre 1, incluido, y 10, excluido. En un número negativo, se conserva el menos y se aplica la condición al valor absoluto. Cero se escribe 0: no tiene una forma normalizada con coeficiente de módulo entre 1 y 10.

4,2 · 10⁵ = 420 000. El exponente positivo corresponde a multiplicar por 100 000. 4,2 · 10⁻⁵ = 0,000042. El exponente negativo divide por 100 000. Un exponente negativo no convierte el número en negativo.

Convertir un decimal, contando el desplazamiento

1. Mueve la coma hasta obtener un coeficiente cuyo módulo esté entre 1 y 10.
2. Cuenta cuántas posiciones has movido.
3. Si el número original tenía módulo grande y moviste la coma a la izquierda, el exponente es positivo.
4. Si el módulo original era menor que 1 y moviste la coma a la derecha, el exponente es negativo.
5. Comprueba reconstruyendo el número.

Multiplicar y dividir

Multiplica o divide los coeficientes y aplica las reglas de potencias de 10. En productos suma exponentes; en cocientes resta el exponente del denominador al del numerador. Después comprueba si el coeficiente queda normalizado: el primer resultado puede no cumplir todavía la condición.

Sumar y restar: primero iguala la escala

No puedes sumar los coeficientes si los exponentes son distintos. Escribe las cantidades con la misma potencia de 10, opera los coeficientes y normaliza al final. Es la misma idea que sumar cantidades expresadas en una unidad común.

Una operación que pregunta por el exponente

En 2³ = 8, la base es 2, el exponente es 3 y el resultado es 8. El logaritmo plantea la pregunta inversa: «¿A qué exponente tengo que elevar 2 para obtener 8?». La respuesta se escribe log₂8 = 3.

Para logaritmos reales, la base debe cumplir b > 0 y b ≠ 1, y el argumento a debe ser positivo. El argumento es el número del que calculas el logaritmo; no lo confundas con el resultado. El resultado sí puede ser cero o negativo.

Calcula reconociendo una potencia

Reescribe el argumento como potencia de la base: si 125 = 5³, entonces log₅125 = 3. Si 1/25 = 5⁻², entonces log₅(1/25) = -2. Si no ves una potencia sencilla, el resultado no tiene por qué ser un entero.

Las propiedades vienen de las reglas de las potencias

Una suma dentro del argumento no tiene una regla equivalente: log(x + y) no es log x + log y. Las propiedades separan productos, cocientes y potencias, siempre bajo sus condiciones.

Base 10 y base e

En esta unidad, log x sin subíndice significa logaritmo decimal, de base 10. ln x es el logaritmo natural, de base e. e es un real positivo aproximadamente igual a 2,71828. Comprueba qué tecla usa tu calculadora: LOG y LN no son la misma base. Para cualquier otra base puedes utilizar el cambio de base.