Dinámica.

La cinemática describe cómo se mueve un cuerpo; la dinámica estudia cómo se relaciona ese movimiento con las fuerzas que actúan sobre él. Si sabemos que un carrito acelera a 2 m/s², hemos descrito su movimiento. Si investigamos qué empujes, rozamientos y condiciones producen esa aceleración, estamos trabajando en dinámica.

Una fuerza representa una interacción entre cuerpos. Siempre puedes preguntar: ¿quién la ejerce y sobre qué cuerpo? La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre una pelota; una mesa ejerce una fuerza de contacto sobre un libro; una cuerda ejerce tensión sobre una caja. Nombrar al agente evita inventar fuerzas que no existen.

Contacto y acción a distancia

Las fuerzas pueden cambiar la rapidez, la dirección del movimiento o la forma de un cuerpo. Sin embargo, que exista una fuerza no significa que la aceleración sea necesariamente distinta de cero: puede haber otras fuerzas que la compensen. Una caja sobre una mesa recibe peso y normal y puede permanecer en reposo.

Una idea que debes abandonar

No hace falta una fuerza neta hacia delante para que un cuerpo continúe moviéndose. Hace falta una fuerza neta para cambiar su velocidad. En la vida cotidiana empujamos para mantener algunos movimientos porque existe rozamiento o resistencia del aire. Si esos efectos se compensan, la resultante puede ser cero y la velocidad mantenerse.

Qué simplificamos

Trabajaremos principalmente con cuerpos representados como puntos materiales o bloques sin estudiar su rotación. Supondremos masa constante, velocidades cotidianas y un sistema de referencia aproximadamente inercial. Las cuerdas, poleas y superficies serán ideales solo cuando el problema lo indique. Cada idealización tiene consecuencias que hay que conocer antes de calcular.

Una fuerza se caracteriza por su módulo, dirección y sentido. Para un cuerpo extenso también importa dónde se aplica, porque puede provocar giro. En los ejercicios de traslación sumamos sus componentes para encontrar la resultante. La representación con flechas permite ver de un vistazo qué componentes se refuerzan y cuáles se compensan.

El símbolo Σ significa «suma de todas». En una recta, asigna un sentido positivo y suma con signos. Una fuerza de 12 N a la derecha y otra de 5 N a la izquierda tienen resultante +7 N si elegimos la derecha como positiva. No se suman sus módulos para dar 17 N, porque sus sentidos son opuestos.

Descomposición de una fuerza

El coseno corresponde a la componente horizontal solo porque θ está medido desde ese eje. Si el ángulo se mide desde la vertical, debes adaptar la relación. Comprueba los signos según el cuadrante. Un tirón hacia arriba y a la derecha tiene ambas componentes positivas si x va a la derecha y y hacia arriba.

Sumar en dos dimensiones

Calcula ΣFₓ y ΣFᵧ por separado. Esas dos sumas forman el vector resultante. Su módulo es √[(ΣFₓ)² + (ΣFᵧ)²]. Si necesitas su ángulo, utiliza la tangente y revisa el cuadrante. No uses Pitágoras para sumar dos fuerzas arbitrarias: primero deben estar expresadas como componentes perpendiculares.

Unidades y conversiones

Un newton es la fuerza resultante que produce una aceleración de 1 m/s² en una masa de 1 kg. No exige que el cuerpo esté inicialmente en reposo. La masa se introduce en kilogramos; 500 g son 0,5 kg, no 500 kg. La fuerza se mide en newtons; 1 kN son 1000 N. Cuando conectes con cinemática, convierte km/h a m/s dividiendo entre 3,6.

En un sistema inercial, si la fuerza resultante sobre un cuerpo es cero, su velocidad permanece constante. Si estaba en reposo, continúa en reposo; si llevaba velocidad distinta de cero, sigue en línea recta con la misma velocidad. Esta es la primera ley de Newton o principio de inercia.

La inercia es la propiedad de los cuerpos de conservar su estado de movimiento cuando no existe una resultante que lo cambie. No es una fuerza adicional. La masa mide la inercia traslacional: cuanto mayor es, menor aceleración produce una misma fuerza resultante.

Equilibrio estático y dinámico

En esta unidad, equilibrio significa equilibrio de traslación. Si estudiaras un cuerpo que puede girar, además habría que comprobar el momento neto de las fuerzas. No basta con resultante cero para asegurar que no cambie su rotación.

Por qué empujamos para mantener una caja en marcha

Al arrastrar una caja a velocidad constante, el tirón puede compensar el rozamiento. Hay fuerzas, pero su suma es cero. Al dejar de tirar, el rozamiento queda sin compensar y la caja se frena. La experiencia cotidiana no contradice la primera ley: muestra que solemos movernos en presencia de resistencias.

Sistemas inerciales

Las leyes de Newton se aplican directamente en sistemas inerciales. Un sistema que se desplaza con velocidad constante respecto a otro inercial también es inercial. En los ejercicios habituales trataremos el suelo como aproximadamente inercial. Un autobús que arranca o frena es una referencia acelerada: desde su interior pueden aparecer efectos que requieren distinguir la referencia utilizada.

Para un cuerpo de masa constante observado desde un sistema inercial, la fuerza resultante es igual a la masa multiplicada por su aceleración. La aceleración tiene la dirección y el sentido de la resultante. No tiene por qué tener la dirección de la velocidad.

Es esencial escribir la suma de fuerzas. Si empujas con 20 N y el rozamiento es 8 N en sentido contrario, la fuerza que entra como neta es 12 N. Sustituir 20 N directamente en a = F/m ignoraría una interacción que sí afecta al movimiento.

Qué cambia al variar F o m

Con masa fija, duplicar la resultante duplica la aceleración. Con resultante fija, duplicar la masa reduce la aceleración a la mitad. Para comparar cuerpos debes dejar claro qué mantienes constante. Un vehículo más pesado no tarda necesariamente más en acelerar si también dispone de una fuerza mayor; lo que determina a es el cociente entre fuerza neta y masa.

Signos y rapidez

En una recta, una resultante negativa produce aceleración negativa si hemos elegido ese eje. Si el cuerpo se mueve hacia el sentido negativo, esa aceleración aumenta su rapidez. Si se mueve hacia el positivo, disminuye la rapidez hasta la parada. La fuerza neta determina el cambio de velocidad, no el signo que debe tener la velocidad.

De la dinámica a la cinemática

Una vez calculada a, puedes usar las ecuaciones de movimiento. Si la resultante es constante y la masa no cambia, a es constante y puedes aplicar MRUA. Si la fuerza depende de la velocidad o la posición, a puede cambiar: no uses automáticamente una única ecuación de MRUA para todo el intervalo.

Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre B, B ejerce simultáneamente una fuerza de igual módulo y sentido contrario sobre A. Son las dos fuerzas de una misma interacción. Los nombres «acción» y «reacción» no indican que una ocurra antes que la otra.

La clave es que actúan sobre cuerpos distintos. Por eso no se cancelan en el diagrama de un único cuerpo. Si la mesa ejerce una normal sobre el libro, el libro ejerce otra fuerza de contacto sobre la mesa. La primera entra en la ecuación del libro; la segunda, en la de la mesa.

Peso y normal no forman ese par

El peso es la fuerza de la Tierra sobre el libro. Su pareja es la fuerza gravitatoria del libro sobre la Tierra. La normal es la fuerza de la mesa sobre el libro. Su pareja es la fuerza del libro sobre la mesa. Peso y normal pueden equilibrarse sobre el libro, pero pertenecen a interacciones distintas.

Igual fuerza no implica igual aceleración

En una interacción entre dos cuerpos de masas diferentes, los módulos de las fuerzas son iguales. Sus aceleraciones pueden ser diferentes porque a = F/m. No concluyas que un cuerpo mayor «ejerce más fuerza» durante esa interacción solo por tener más masa. Las deformaciones y las aceleraciones no son medidas directas de que el par tenga módulos distintos.

Un diagrama de cuerpo libre es un dibujo del cuerpo aislado donde representas todas las fuerzas externas que actúan sobre él. No es un dibujo de todo lo que ocurre alrededor. Su objetivo es convertir la situación física en una lista clara de interacciones antes de calcular.

Cómo construirlo

1. Elige el cuerpo o sistema. Escribe «estudio la caja» o «estudio las dos masas juntas».
2. Identifica agentes. Tierra, mesa, cuerda, muelle, otro bloque o aire.
3. Dibuja solo fuerzas sobre ese cuerpo. La fuerza que él ejerce sobre otro pertenece al diagrama del otro.
4. Indica cada dirección. Peso vertical; normal perpendicular a la superficie; tensión a lo largo de la cuerda; rozamiento tangente al contacto.
5. Elige ejes útiles. En una rampa suelen ser paralelo y perpendicular al plano.
6. Descompón lo necesario. No mantengas simultáneamente una fuerza y sus componentes como fuerzas adicionales.
7. Escribe ΣF = ma por eje. Indica qué componentes de aceleración son cero y por qué.

Puedes representar el cuerpo como un punto para estudiar su traslación. Las flechas deben empezar sobre él y apuntar en el sentido de cada fuerza. Usa longitudes orientativas, pero no deduzcas valores numéricos de un dibujo esquemático.

Fuerzas que suelen faltar o sobrar

La masa mide la inercia del cuerpo y se expresa en kilogramos. El peso es la fuerza gravitatoria ejercida sobre él y se expresa en newtons. Cerca de la superficie terrestre, el módulo del peso se calcula como P = mg. Un objeto de 2 kg no «pesa 2 N»: su peso aproximado es 19,6 N si g = 9,8 m/s².

g es el campo gravitatorio local, dirigido aproximadamente hacia el centro de la Tierra. Su módulo puede expresarse en N/kg o en m/s²: ambas unidades son equivalentes. En esta unidad tomaremos g = 9,8 m/s² salvo que el enunciado diga otro valor. Si y apunta hacia arriba, Pᵧ = −mg.

Cambiar de lugar

La masa de un objeto no cambia por llevarlo de la Tierra a la Luna. Su peso sí cambia porque el campo gravitatorio lunar es diferente. Para una masa fija, el peso es proporcional a g. La misma distinción explica que el peso varíe ligeramente con la altura o la ubicación sin que cambie la masa.

Por qué la caída libre no depende de la masa en este modelo

Si solo actúa el peso, la segunda ley da mg = ma en módulo, y al simplificar m se obtiene a = g. Un objeto con más masa recibe mayor fuerza gravitatoria, pero también tiene mayor inercia. En el modelo sin resistencia del aire y bajo las mismas condiciones iniciales, ambos efectos se compensan.

Qué mide una báscula

Una báscula mecánica o electrónica detecta una fuerza de contacto. Habitualmente la convierte en una lectura de masa usando un valor de g. Si el soporte acelera, esa fuerza puede ser diferente del peso. Por eso la lectura cambia en un ascensor aunque la masa de la persona no cambie.

La normal es la fuerza perpendicular que una superficie ejerce sobre un cuerpo en contacto. En el modelo de apoyo no adhesivo, la superficie puede empujar al cuerpo hacia fuera, pero no tirar de él hacia dentro. Por eso el módulo N es no negativo mientras existe contacto.

Cuándo N = mg

En un apoyo horizontal, si las únicas fuerzas verticales son peso y normal y aᵧ = 0, la ecuación N − mg = 0 da N = mg. Necesitas todas esas condiciones. Un tirón inclinado, un empuje hacia abajo o una aceleración vertical cambian la ecuación.

Si Fᵧ es positivo hacia arriba y aᵧ = 0, N = mg − Fᵧ. Si Fᵧ es negativo, la fuerza aplicada empuja hacia abajo y aumenta la normal. Si el cálculo da N < 0 para un apoyo no adhesivo, la hipótesis de contacto falla: la superficie no puede ejercer esa normal negativa y debes analizar la separación.

Una persona en un ascensor

Tomamos positivo hacia arriba. Sobre la persona actúan N y mg. Entonces N − mg = ma, por lo que N = m(g + a), con a como componente vertical con signo. El signo depende de la aceleración, no de que el ascensor esté subiendo o bajando.

La tensión es la fuerza que una cuerda estirada ejerce sobre un cuerpo unido a ella. Su dirección sigue la cuerda y apunta desde el cuerpo hacia el resto de la cuerda. Una cuerda flexible puede tirar, pero no empujar como una barra rígida. Si se destensa, deja de transmitir la tensión supuesta.

Qué significa cuerda ideal

En los problemas más sencillos supondremos una cuerda de masa despreciable e inextensible. Si además pasa por una polea ideal de masa despreciable y sin rozamiento, el módulo de tensión es el mismo a ambos lados. Una cuerda inextensible mantiene una longitud constante y relaciona los movimientos de los extremos.

No apliques «misma tensión» a cualquier mecanismo sin leer el enunciado. Una polea con inercia rotacional puede necesitar tensiones distintas a cada lado para acelerarse. Una cuerda con masa también puede tener variaciones de tensión. En esta unidad indicaremos cuándo usamos el modelo ideal.

Cuerpo colgado de una cuerda vertical

Si está en reposo o sube a velocidad constante, T = mg. Si acelera hacia arriba, T > mg. Si acelera hacia abajo, T < mg mientras permanezca tensada. Que el cuerpo esté subiendo no garantiza que T sea mayor que el peso: puede estar subiendo y frenando.

Dos cuerdas y una dirección de fuerza

Un objeto puede estar sujeto por varias cuerdas. Cada una aporta su tensión en su propia dirección. En equilibrio, sus componentes deben compensar las del peso. No se puede sumar T₁ + T₂ = mg sin comprobar que ambas tensiones sean verticales.

El rozamiento de contacto actúa tangente a la superficie. Se opone al deslizamiento relativo entre las superficies o a la tendencia a deslizar. No tiene que apuntar siempre contra el movimiento del cuerpo respecto al suelo. Al caminar, puede empujar el pie hacia delante mientras evita que resbale hacia atrás.

Rozamiento estático: se ajusta

Si no hay deslizamiento relativo, la fuerza estática adopta el valor necesario para mantener esa condición, hasta un máximo. En una caja quieta sobre suelo horizontal, al empujar suavemente con 4 N el rozamiento puede valer 4 N, no necesariamente su valor máximo. Si no se necesita para equilibrar ninguna tendencia, puede valer cero.

Rozamiento cinético: ya está deslizando

En el modelo simple de rozamiento seco, cuando existe deslizamiento, el módulo cinético se aproxima por f_k = μ_kN. Su dirección se opone al movimiento relativo de las superficies. En una caja que desliza a la derecha sobre un suelo fijo, apunta a la izquierda.

Los coeficientes son adimensionales y dependen del par de superficies y de sus condiciones. Habitualmente μ_s supera a μ_k, aunque no es una ley universal. Tampoco están obligados a ser menores que 1: puede haber coeficientes superiores a 1. El modelo idealizado no afirma que el rozamiento real sea independiente de todas las demás circunstancias.

Procedimiento para una caja inicialmente quieta

1. Calcula N con la ecuación perpendicular.
2. Calcula el rozamiento necesario para que a = 0.
3. Comprueba si su módulo es ≤ μ_sN.
4. Si cabe dentro del máximo, el estado sin deslizamiento es posible.
5. Si lo supera, no puede mantenerse quieta: pasa al análisis de deslizamiento con μ_k y sentido coherente.

En un plano horizontal conviene elegir x paralelo al suelo e y hacia arriba. Si el bloque no se separa del suelo y no hay movimiento vertical, aᵧ = 0. Esto no significa que las fuerzas verticales no existan: significa que se compensan.

Fuerza horizontal sin rozamiento

Si F es constante, la aceleración horizontal también lo es. Puedes usar cinemática para calcular velocidad y desplazamiento. La normal y el peso se equilibran verticalmente, pero no reducen la fuerza horizontal aplicada.

Fuerza horizontal con deslizamiento

La fórmula presupone que F apunta hacia +x y el deslizamiento relativo es también hacia +x. Si la fuerza aplicada apunta en sentido contrario al movimiento, debes reflejar ese signo. No hagas que el rozamiento siga automáticamente el sentido opuesto a F: se opone al deslizamiento, aunque la fuerza aplicada apunte hacia otro lado.

Tirón inclinado hacia arriba

La fuerza tiene dos efectos: su componente horizontal tira y su componente vertical reduce la normal. Al disminuir N también disminuye el rozamiento cinético de este modelo. Comprueba que N ≥ 0; si no, el modelo de bloque apoyado deja de ser válido.

Empuje inclinado hacia abajo

Si una fuerza de módulo F forma un ángulo θ por debajo de la horizontal, su componente vertical es −F sen θ. En ese caso N = mg + F sen θ. Aumenta la normal y, con el mismo μ_k, aumenta el rozamiento. Una fuerza inclinada no sirve igual si tira hacia arriba que si empuja hacia abajo.

En una rampa inclinada un ángulo θ sobre la horizontal, suele convenir elegir x paralelo al plano y positivo cuesta abajo, e y perpendicular al plano hacia fuera. El peso sigue siendo vertical; lo que cambia es su descomposición respecto a esos ejes.

La componente paralela tira cuesta abajo. La perpendicular apunta hacia el plano. Si no hay otras fuerzas perpendiculares y el cuerpo mantiene contacto, N = mg cos θ. La normal no compensa todo el peso vectorial, sino su componente perpendicular.

Rampa lisa

La aceleración cuesta abajo no depende de la masa en este modelo. Si el móvil sube inicialmente, a sigue apuntando cuesta abajo y lo frena hasta detenerlo. Después puede comenzar a bajar. La dirección de la aceleración no se redefine por el sentido instantáneo del movimiento.

Rampa rugosa: decidir si arranca

Para un bloque en reposo sin otras fuerzas, el rozamiento necesario para no deslizar es mg sen θ cuesta arriba. El máximo es μ_smg cos θ. El equilibrio es posible si mg sen θ ≤ μ_smg cos θ, es decir, tan θ ≤ μ_s para una rampa entre 0° y 90°.

Si ya baja

Aquí el rozamiento apunta cuesta arriba. Si el resultado a es negativo, el bloque que está bajando se frena. No implica que el rozamiento se haya vuelto hacia abajo. Al detenerse debes comprobar si puede quedarse quieto con rozamiento estático.

Si sube

El rozamiento apunta ahora cuesta abajo, igual que la componente paralela del peso. Con x positivo cuesta abajo, ambas contribuciones son positivas. El módulo de aceleración cuesta abajo es g(sen θ + μ_k cos θ). Como la velocidad inicial tiene signo negativo en ese eje, pierde rapidez mientras sube.

Cuando varios cuerpos están unidos, cada uno obedece su propia ecuación de Newton. La unión añade relaciones entre sus movimientos. En una cuerda ideal inextensible y tensada sobre una polea fija ideal, los extremos tienen aceleraciones del mismo módulo, aunque sus direcciones puedan ser diferentes.

Dos bloques en suelo horizontal

Si F tira del bloque delantero y una cuerda une ambos bloques, cada uno recibe una tensión en sentido diferente. Sin rozamiento, el sistema completo tiene fuerza externa horizontal F y masa m₁ + m₂. Así a = F/(m₁ + m₂). Para encontrar T, aísla el bloque trasero: si solo T lo acelera horizontalmente, T = m_traseroa.

La tensión entre ambos es interna para el conjunto y se cancela en la suma de sus ecuaciones. Eso no significa que valga cero: significa que no cambia la cantidad de movimiento total del sistema por sí sola. Para el bloque individual sí es una fuerza externa.

Un bloque en mesa y otro colgando

Con una polea fija ideal en el borde, el bloque de la mesa y el colgante comparten el módulo de aceleración. Si el colgante baja y la mesa es lisa: T = m₁a para el bloque de la mesa y m₂g − T = m₂a para el colgante. Al sumar, a = m₂g/(m₁ + m₂). Con rozamiento en la mesa, resta su módulo si se opone al sentido elegido.

Máquina de Atwood

Dos masas cuelgan a ambos lados de una polea fija ideal. Si m₂ > m₁, tomamos positivo hacia abajo para m₂ y positivo hacia arriba para m₁. Así cada ecuación usa el mismo a positivo. Las tensiones tienen el mismo módulo T.

El denominador contiene toda la masa que acelera; el numerador contiene la diferencia de pesos que impulsa el sistema. La tensión no es igual al peso de ninguna masa salvo en condiciones especiales, como masas iguales en el modelo ideal sin aceleración.

Un cuerpo que describe una circunferencia necesita aceleración hacia el centro de módulo v²/R. Por la segunda ley, la componente de la resultante hacia el centro debe valer mv²/R. Esa resultante radial se suele llamar fuerza centrípeta. No es una interacción nueva que debas añadir al diagrama.

La tensión de una cuerda puede proporcionar esa resultante; en una curva de carretera puede hacerlo el rozamiento; en una órbita, la gravedad; en otras situaciones interviene una suma de varias fuerzas. Dibuja primero las fuerzas reales y calcula después su suma radial.

Rapidez constante no significa fuerza neta cero

En MCU la rapidez es constante, pero la dirección de v cambia. La aceleración tangencial es cero y la normal no. Si una trayectoria deja de estar restringida por la fuerza radial, el cuerpo no continúa espontáneamente por el círculo: su movimiento instantáneo sigue la dirección tangente, modificado después por las fuerzas que queden.

Curva horizontal sin peralte

Para un vehículo sobre una carretera horizontal ideal sin otros efectos verticales, N = mg. Si no hay deslizamiento lateral, el rozamiento estático proporciona la fuerza horizontal hacia el centro. Se necesita f_s = mv²/R y debe cumplirse f_s ≤ μ_smg.

Es una relación de un modelo simplificado, no una velocidad recomendada de conducción. Describe un límite de adherencia bajo las condiciones planteadas. La masa se cancela en esta aproximación, pero otros factores del vehículo y de la carretera quedan fuera del modelo.

Circunferencia vertical

El sentido hacia el centro cambia según la posición. En la parte inferior, el centro está arriba: T − mg = mv²/R para una masa sostenida por una cuerda. En la parte superior, el centro está abajo: T + mg = mv²/R. La rapidez no tiene por qué ser igual arriba y abajo; si no la conoces, puede hacer falta información de energía.

Un muelle puede ejercer una fuerza que tiende a recuperar su longitud natural. En su régimen elástico lineal, la ley de Hooke relaciona la fuerza con la deformación. La deformación x es la diferencia entre la longitud actual y la natural, con un eje y un signo definidos.

k es la constante elástica y se mide en N/m. Un k mayor significa que, para la misma deformación, el muelle ejerce mayor fuerza. El signo negativo indica que la fuerza es restauradora: si estiras hacia +x, tira hacia −x; si comprimes hacia −x, empuja hacia +x en el modelo de muelle que admite compresión.

Unidades que suelen fallar

Si la deformación es 5 cm, usa x = 0,05 m. La longitud total no es la deformación: si el muelle mide naturalmente 20 cm y pasa a 25 cm, se ha alargado 5 cm. Introducir 0,25 m en F = kx daría la fuerza correspondiente a otra deformación.

Equilibrio con un muelle vertical

Una masa suspendida en reposo de un muelle se equilibra cuando la fuerza elástica hacia arriba tiene el módulo del peso. Si x es el alargamiento positivo: kx = mg y x = mg/k. La masa no está sostenida por una tensión de cuerda adicional si solo hay un muelle: dibuja la fuerza elástica, no dos fuerzas que describen la misma interacción.

Límite de validez

Hooke es una aproximación para pequeñas deformaciones dentro del régimen lineal. Si el muelle se deforma permanentemente, rompe o se comporta de forma no lineal, la relación F = −kx deja de describirlo adecuadamente. Una representación gráfica de fuerza aplicada lentamente frente a deformación es una recta de pendiente k en ese régimen.

La interacción gravitatoria entre dos masas puntuales es atractiva y su módulo depende de sus masas y de la distancia que las separa. También podemos aplicar esta expresión entre cuerpos esféricos con distribución de masa esféricamente simétrica cuando están separados sin solaparse, usando la distancia entre sus centros.

r es la distancia entre los centros en ese modelo, no la altura sobre la superficie. Si un objeto está a una altura h sobre un planeta de radio R, r = R + h. Si duplicas r manteniendo las masas, la atracción se reduce a la cuarta parte. Si duplicas una masa, se duplica la fuerza.

Campo gravitatorio

El campo g en un punto indica la fuerza gravitatoria por unidad de masa que recibiría un pequeño cuerpo colocado allí. La fuerza sobre una masa m es F = mg. Para un cuerpo esférico de masa M, fuera de él, el módulo del campo es GM/r² y apunta hacia su centro.

Conexión con el peso

Cerca de la superficie, r cambia poco en relación con el radio terrestre y podemos aproximar g por un valor constante. Por eso usamos P = mg y caída libre con aceleración constante en problemas de pequeñas alturas. La gravitación explica el origen de ese campo; no añade un segundo peso a la fuerza gravitatoria ya dibujada.

Órbita circular ideal

Si la gravedad es la única fuerza relevante sobre un satélite en órbita circular, proporciona la resultante centrípeta. Igualamos GMm/r² = mv²/r. La masa del satélite se cancela y obtenemos v = √(GM/r), para esa órbita circular. El período se calcula como T = 2πr/v.

El aire puede ejercer una fuerza de resistencia opuesta a la velocidad relativa del cuerpo respecto al aire. Su módulo depende de la rapidez, la forma, el área frontal y las condiciones del fluido. No se calcula con μN como el rozamiento seco entre superficies sólidas.

Dos modelos sencillos

En algunas condiciones se aproxima una resistencia proporcional a la rapidez, b|v|. En otras se usa c|v|². Son modelos diferentes; b y c tienen unidades diferentes. Debe indicarse qué modelo se utiliza y no intercambiar sus constantes como si fueran coeficientes adimensionales.

Caída con resistencia

Tomemos positivo hacia abajo. Mientras el cuerpo cae respecto al aire, el peso es positivo y la resistencia negativa. Si despreciamos el empuje del aire, la ecuación es mg − F_aire = ma. Al aumentar la rapidez, aumenta la resistencia y disminuye la resultante hacia abajo.

La velocidad límite es una rapidez para la que las fuerzas se equilibran y la aceleración es cero. En el modelo cuadrático cumple mg = cv_lím²; en el lineal, mg = bv_lím. Partiendo del reposo bajo condiciones constantes, el cuerpo se aproxima progresivamente al valor límite; no necesita alcanzar exactamente la igualdad en un tiempo finito.

Abrir un paracaídas

Al abrirlo cambian las características aerodinámicas y aumenta la resistencia para la misma rapidez. La resultante puede apuntar hacia arriba aunque el cuerpo siga bajando. En ese intervalo pierde rapidez. Más tarde puede aproximarse a una nueva velocidad límite menor. Fuerza hacia arriba no significa necesariamente movimiento hacia arriba.

Un péndulo simple ideal consiste en una masa puntual unida a un hilo inextensible de longitud L y masa despreciable, suspendido de un punto fijo. Despreciamos resistencia del aire y rozamiento. Mientras el hilo esté tensado, la masa se mueve sobre un arco circular, no en una línea recta vertical.

Fuerzas sobre la masa

Actúan el peso vertical y la tensión dirigida hacia el punto de suspensión. En cada posición podemos elegir un eje radial hacia el punto de suspensión y un eje tangencial al arco. El ángulo θ se mide desde la vertical hacia abajo.

La tensión no es igual a mg en general. Depende tanto de la posición como de la rapidez, porque debe contribuir a la aceleración radial. En el punto más bajo, θ = 0 y T = mg + mv²/L. Si la masa pasa con rapidez distinta de cero, T es mayor que el peso.

Por qué vuelve al equilibrio

La componente tangencial del peso apunta hacia la posición inferior y cambia el módulo de la velocidad. La tensión, en el modelo ideal, sigue la dirección radial. Si la masa está a un lado y se libera desde el reposo, comienza a desplazarse hacia el punto más bajo; después puede seguir al otro lado por su velocidad adquirida.

Oscilaciones pequeñas

Para ángulos pequeños expresados en radianes, sen θ ≈ θ. Si s = Lθ es el desplazamiento sobre el arco respecto al equilibrio, la ecuación tangencial se aproxima a a_t = −(g/L)s. Tiene la forma de un MAS, con frecuencia angular √(g/L).

Ese período aproximado no depende de la masa y es casi independiente de la amplitud dentro de la aproximación de oscilaciones pequeñas. Para amplitudes grandes, no puedes afirmar que el período exacto sea el mismo. En este bloque T puede designar tensión en las ecuaciones de fuerzas; escribimos T_período para evitar confundirlo con el tiempo de una oscilación.

Una masa y un muelle

Si una masa m oscila unida a un muelle ideal sin rozamiento y x se mide desde el equilibrio, mx″ = −kx. La frecuencia angular es √(k/m) y el período 2π√(m/k). En un muelle vertical, la gravedad desplaza el equilibrio; al medir desde ese nuevo equilibrio, la ecuación de oscilación vuelve a tomar esa forma.

La cantidad de movimiento o momento lineal es el vector p = mv. Se expresa en kg·m/s. Dos cuerpos con igual velocidad tienen momentos distintos si sus masas son distintas. Para masa constante, un cambio de p equivale a un cambio de v multiplicado por m.

Impulso

El impulso de la fuerza neta durante un intervalo es su efecto acumulado en el tiempo. Si la resultante es constante, J = F_netaΔt. Si cambia, se obtiene mediante la integral temporal o mediante la fuerza neta media multiplicada por la duración. El impulso tiene las mismas unidades que p, porque N·s = kg·m/s.

La duración importa

Para un cambio dado de cantidad de movimiento, aumentar la duración reduce el módulo de la fuerza neta media si el cambio mantiene la misma dirección. Esto ayuda a interpretar por qué amortiguar un impacto o acompañar una recepción puede reducir la fuerza media. La fuerza máxima durante el contacto no tiene por qué ser igual a esa media.

Sistema y conservación

En un sistema de cuerpos, las fuerzas internas entre ellos se cancelan por pares al sumar sus ecuaciones. El cambio de momento total depende del impulso de las fuerzas externas. Si el impulso externo es cero o despreciable durante el intervalo, el momento total se conserva. Cada cuerpo por separado puede cambiar su momento, y la energía cinética no tiene por qué conservarse.

Un problema integrado reúne herramientas de varios bloques. No necesitas una fórmula especial para cada combinación: necesitas una secuencia clara. Dibuja, elige ejes, comprueba contacto y rozamiento, aplica Newton y después usa la cinemática que sea compatible con la fuerza neta.

Decisiones en el orden adecuado

1. Si el bloque parte en reposo sobre una superficie rugosa, comprueba primero el régimen estático.
2. Calcula la normal antes del rozamiento, si este depende de ella.
3. Si hay varios cuerpos, establece las restricciones de cuerda antes de usar una única a.
4. Comprueba si las fuerzas se mantienen constantes durante el intervalo.
5. Si cambia el contacto, se destensa la cuerda o cambia el deslizamiento, divide en tramos.
6. Interpreta el resultado: una T o N negativa en un modelo de tensión o apoyo no adhesivo puede revelar que una hipótesis falla.

Qué hacer con una respuesta inesperada

Una aceleración negativa no significa necesariamente que hayas resuelto mal: puede señalar que el sentido supuesto para la aceleración no era el real. Pero si has supuesto deslizamiento hacia abajo y la caja inicialmente quieta no supera el máximo estático, no puedes usar el resultado cinético como descripción del arranque. Una solución algebraica debe respetar las condiciones físicas.