Cinemática.

La cinemática estudia cómo se mueve un cuerpo: dónde está, qué trayectoria sigue, cómo cambia su posición y cómo varía su velocidad. No necesita explicar qué fuerza produce ese movimiento. Decir que un coche pasa de 10 a 20 m/s en cinco segundos es una descripción cinemática. Investigar cómo intervienen el motor, el rozamiento o la masa pertenece a la dinámica.

En esta unidad llamaremos móvil al cuerpo cuyo movimiento estudiamos. A menudo lo representaremos como un punto material: una posición basta para describirlo. Un coche puede tratarse como un punto al estudiar un trayecto de varios kilómetros. Esa aproximación deja de ser suficiente si necesitamos describir cómo gira cada rueda o cómo cambia la orientación del coche.

Un modelo físico simplifica una situación real para poder analizarla. Su utilidad depende de sus condiciones. Por ejemplo, suponer que una pelota se mueve sin resistencia del aire permite estudiar el tiro parabólico con ecuaciones sencillas. No significa que en el mundo real el aire no exista: significa que hemos decidido despreciar su efecto en ese modelo.

Qué información necesita una descripción

El movimiento es relativo al sistema de referencia. Una mochila colocada en el suelo de un autobús está en reposo respecto al autobús y se mueve respecto a una persona situada en la acera. Ambas descripciones pueden ser correctas. La frase «está en reposo» queda incompleta si no sabemos respecto a qué.

Antes de sustituir datos, comprueba sus unidades. Usaremos el Sistema Internacional: metros para longitudes, segundos para tiempos, m/s para velocidades y m/s² para aceleraciones. No mezcles kilómetros con metros o minutos con segundos dentro de una misma ecuación sin convertirlos.

Cómo usar un factor de conversión

Un factor de conversión es un cociente entre dos cantidades equivalentes. Por ejemplo, 1000 m / 1 km equivale a 1. Lo colocamos de modo que la unidad que queremos eliminar quede una vez en el numerador y otra en el denominador. No basta con recordar «multiplica» o «divide»: entender la cancelación evita errores.

Para pasar de km/h a m/s divides entre 3,6. Para pasar de m/s a km/h multiplicas por 3,6. Un minuto son 60 s y una hora son 3600 s. Una aceleración de 2 m/s² significa que la componente de velocidad aumenta 2 m/s en cada segundo, siempre que la aceleración permanezca constante.

Despejar y comprobar

Si Δx = v Δt, entonces v = Δx/Δt y Δt = Δx/v, si v ≠ 0. Mantén las letras hasta haber despejado: verás mejor la estructura del cálculo. En una ecuación de segundo grado, como 0 = y₀ + v₀t − ½gt², pueden aparecer dos raíces. Elige las que pertenezcan al intervalo físico del problema; una raíz negativa suele describir una prolongación matemática anterior al comienzo.

Trigonometría mínima

Si un vector de módulo v forma un ángulo θ con el eje horizontal positivo, sus componentes son vₓ = v cos θ y vᵧ = v sen θ. Si el ángulo se mide desde otro eje, estas expresiones deben adaptarse. El módulo se recupera con Pitágoras: v = √(vₓ² + vᵧ²). Para calcular un ángulo mediante una tangente, comprueba el cuadrante según los signos de ambas componentes.

Un sistema de referencia para estos problemas incluye un origen, unos ejes con sentidos positivos y un reloj. El origen es el lugar al que asignamos coordenada cero. Puede estar en la salida, en el suelo o en cualquier punto conveniente. Cambiar el origen modifica las coordenadas, pero no el movimiento real.

Posición en una dimensión

Si el móvil se desplaza sobre una recta, basta una coordenada x(t). Una posición x = −3 m significa que está tres metros hacia el lado negativo del origen. No significa que haya recorrido «menos tres metros». La posición indica un lugar; la distancia recorrida indica una longitud acumulada.

Posición en el plano

Los vectores unitarios i y j señalan los sentidos positivos de los ejes x e y. El vector posición va desde el origen hasta el móvil. Por ejemplo, r = 3i + 4j m indica tres metros en x y cuatro en y. Su módulo es 5 m, pero ese módulo es la distancia al origen, no necesariamente la distancia que ha recorrido.

Desplazamiento, trayectoria y distancia

El desplazamiento une la posición inicial con la final. La trayectoria es el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. La distancia recorrida es la longitud del camino seguido; siempre es no negativa. Dos trayectos diferentes pueden tener el mismo desplazamiento y distinta distancia recorrida.

La velocidad media relaciona el desplazamiento con el intervalo de tiempo. Es vectorial: informa de cuánto cambia la posición y de la dirección de ese cambio. En una recta usamos una componente con signo.

La rapidez media divide la distancia total recorrida entre el tiempo total. No tiene dirección y no puede ser negativa. El tiempo total incluye las paradas si el intervalo estudiado las incluye. En una ida y vuelta, la velocidad media puede ser cero mientras la rapidez media es distinta de cero.

Qué significa «instantánea»

La velocidad instantánea describe el movimiento en un momento concreto. Imagina medir la velocidad media durante intervalos cada vez más cortos alrededor de un instante: cuanto más pequeño es el intervalo, mejor describe lo que ocurre justo allí. La rapidez instantánea es el módulo de esa velocidad. Un velocímetro de un coche informa de rapidez, aunque coloquialmente llamemos a su lectura «velocidad».

En una recta, v > 0 significa movimiento hacia valores crecientes de x; v < 0 significa movimiento hacia valores decrecientes. El signo no dice si el móvil va deprisa o despacio. v = −20 m/s tiene mayor rapidez que v = +5 m/s, porque 20 > 5.

La velocidad sigue la tangente

En una trayectoria curva, el vector velocidad es tangente a la trayectoria y apunta en el sentido del movimiento. No apunta, en general, desde el origen hacia el móvil. Ese último vector sería el vector posición. Esta diferencia será importante al estudiar los movimientos circular y parabólico.

La aceleración mide la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Como la velocidad es vectorial, puede cambiar porque cambia su módulo, su dirección o ambos. Un coche que toma una curva a rapidez constante tiene aceleración: su vector velocidad está cambiando de dirección.

Una aceleración de +3 m/s² en un eje indica que la componente de velocidad aumenta algebraicamente 3 m/s por segundo. Por ejemplo, de −8 a −5 m/s. Aunque la velocidad aumenta como número, su módulo disminuye: el móvil se está frenando. Por eso «aceleración positiva» y «ganar rapidez» no son expresiones equivalentes.

Regla de los signos en una dimensión

Cuando v y a tienen el mismo signo, aumenta la rapidez. Cuando tienen signos opuestos, disminuye. Si una aceleración constante continúa después de que v alcance cero, el móvil puede cambiar de sentido. Esta regla de signos vale para un eje rectilíneo; en varias dimensiones el criterio general depende de cómo se orientan v y a.

Reposo instantáneo y aceleración

Que v = 0 en un instante no obliga a que a = 0. Una pelota lanzada verticalmente tiene velocidad cero en el punto más alto, pero la aceleración gravitatoria sigue apuntando hacia abajo. Tampoco a = 0 implica reposo: un tren en MRU puede tener velocidad constante distinta de cero.

Aceleración tangencial y normal

La componente tangencial cambia la rapidez y está dirigida a lo largo de la tangente; puede actuar a favor o en contra del movimiento. La componente normal cambia la dirección y apunta hacia el centro de curvatura. En un movimiento circular de radio R, su módulo es v²/R.

Las componentes tangencial y normal son perpendiculares. Por eso sus módulos no se suman directamente. En una recta, la componente normal es cero. En una circunferencia a rapidez constante, la tangencial es cero y la normal no.

Una gráfica representa cómo cambia una magnitud con el tiempo. El eje horizontal suele ser t y el vertical puede ser x, v o a. No es un dibujo de la trayectoria. Una parábola en una gráfica x-t puede describir un movimiento sobre una línea recta: lo que se curva es la relación entre posición y tiempo.

Gráfica posición-tiempo: la pendiente es velocidad

Entre dos puntos, la pendiente es Δx/Δt: la velocidad media de ese intervalo. En un instante, la pendiente de la recta tangente es la velocidad instantánea. Una recta ascendente representa velocidad positiva constante; una descendente, velocidad negativa constante; una horizontal, reposo. Una curva que se hace más inclinada corresponde a una variación del módulo de la velocidad, según el signo de su pendiente.

Gráfica velocidad-tiempo: pendiente y área

La pendiente entre dos puntos es Δv/Δt: aceleración media. Si v-t es una recta, la aceleración es constante. El área con signo entre la gráfica y el eje del tiempo representa el desplazamiento. Las zonas por encima aportan desplazamiento positivo; las zonas por debajo, negativo. Para la distancia recorrida, suma los valores absolutos de esas áreas y divide el intervalo en los puntos donde v cambia de signo.

En un tramo de aceleración constante que no cruza v = 0, el área es un trapecio: Δx = (v₀ + v_final)Δt/2. El resultado es un desplazamiento con signo. Esta expresión sigue dando el desplazamiento neto si cruza cero, pero la distancia exige separar las áreas.

Gráfica aceleración-tiempo

El área con signo bajo a-t representa el cambio de velocidad Δv. No representa directamente la posición ni la distancia. Una línea horizontal a = 2 m/s² significa aceleración constante; en ese intervalo v-t será una recta ascendente y x-t una parábola.

En un MRU la trayectoria es rectilínea y la velocidad es constante. La aceleración es cero. En intervalos iguales, el móvil realiza desplazamientos iguales. Esto exige que no cambien ni la rapidez ni el sentido durante el intervalo estudiado.

x₀ es la posición en el instante inicial t₀; x(t) es la posición en el instante t; v es la componente constante de velocidad. El producto v(t − t₀) es el desplazamiento desde el inicio, no la posición final. Si x₀ no es cero, debes sumarlo.

Cómo reconocerlo

Las expresiones «velocidad constante» o «recorre distancias iguales en tiempos iguales sin cambiar de sentido» sugieren MRU. La gráfica x-t es una recta de pendiente v; la gráfica v-t es horizontal; la gráfica a-t coincide con cero. Una curva tomada a rapidez constante no es MRU porque cambia la dirección de la velocidad.

Encuentros y alcances

Para dos móviles, escribe una ecuación de posición para cada uno usando el mismo origen, el mismo eje y el mismo reloj. Se encuentran cuando x_A(t) = x_B(t). Un encuentro no significa que sus velocidades sean iguales. Si parten en instantes distintos, introduce el retraso en la ecuación del segundo móvil y respeta su intervalo de validez.

En un MRUA el móvil se mueve sobre una recta con aceleración constante. La velocidad cambia la misma cantidad en intervalos iguales. Puede ganar rapidez, frenarse o cambiar de sentido. «Uniformemente acelerado» se refiere a una aceleración constante, no necesariamente a un aumento de rapidez.

Las tres ecuaciones describen el mismo modelo. La primera relaciona velocidad y tiempo. La segunda da la posición. La tercera elimina el tiempo. En la mayoría de ejercicios tomamos t₀ = 0 y escribimos t en lugar de τ. Cada ecuación deja de ser aplicable si la aceleración cambia y no separas el movimiento en tramos.

De dónde sale la ecuación de posición

Como a es constante, v-t es una recta. El desplazamiento es el área del trapecio bajo esa recta: Δx = (v₀ + v)t/2. Sustituyendo v = v₀ + at, queda Δx = v₀t + ½at². El factor ½ no es un detalle decorativo: aparece porque la parte añadida por la aceleración forma un triángulo en la gráfica.

Cómo elegir

Frenado y cambio de sentido

Si v₀ = +10 m/s y a = −2 m/s², la parada ocurre en t = 5 s. Si el problema dice que frena hasta detenerse, estudias ese intervalo. Si indica que sigue con la misma aceleración durante 8 s, a partir de t = 5 s se mueve en sentido negativo. Para la distancia de esos ocho segundos debes sumar el tramo de ida y el de regreso, no tomar automáticamente |x(8) − x₀|.

Cerca de la superficie terrestre y despreciando la resistencia del aire, un cuerpo sometido únicamente a la gravedad tiene aceleración vertical aproximadamente constante. Llamaremos g = 9,8 m/s² a su módulo positivo. Si elegimos y positivo hacia arriba, la componente de aceleración es aᵧ = −g. Si elegimos positivo hacia abajo, es +g. El fenómeno no cambia: cambia nuestra representación.

Dejar caer no es lanzar hacia abajo

«Se deja caer» implica v₀ᵧ = 0. «Se lanza hacia abajo» implica una velocidad inicial no nula, negativa si y apunta hacia arriba. Al caer, la velocidad es negativa y la aceleración también: aumenta la rapidez. Al subir, la velocidad es positiva y la aceleración negativa: disminuye la rapidez.

El punto más alto

En la altura máxima, vᵧ = 0 durante un instante. La aceleración sigue siendo −g. Con v₀ᵧ > 0, el tiempo hasta la cima es t_subida = v₀ᵧ/g y la altura ganada respecto al lanzamiento es Δh = v₀ᵧ²/(2g). La altura absoluta es y_máx = y₀ + Δh.

Si el cuerpo vuelve a la misma altura de lanzamiento, sin resistencia del aire, tarda lo mismo en bajar que en subir y regresa con igual rapidez y velocidad de signo opuesto. Entonces el tiempo de retorno es 2v₀ᵧ/g. Si acaba más abajo o más arriba, no uses esa expresión para el tiempo total: impón la altura final en la ecuación de y.

Muchos problemas describen varias etapas: acelerar, mantener una velocidad y frenar. Una sola ecuación con una aceleración constante no puede describir todo el movimiento si la aceleración cambia. Divide el proceso y fija las condiciones iniciales de cada tramo.

Un reloj global y tiempos locales

El reloj global t cuenta desde el comienzo de toda la situación. Si un tramo empieza en t = 8 s, su tiempo local es τ = t − 8. La posición inicial de ese tramo es la posición alcanzada al final del anterior. Su velocidad inicial es la velocidad alcanzada entonces, siempre que no haya un cambio instantáneo idealizado.

Puedes resolver cada etapa con su tiempo local y sumar al final duraciones y distancias. Si necesitas una ecuación válida para todo el proceso, escribe una función por tramos e indica los intervalos. Evita reiniciar la posición en cero en cada etapa si luego necesitas la posición respecto al origen original.

Dos móviles con aceleración

Iguala sus posiciones usando el mismo reloj. Si aparece una ecuación cuadrática, puede dar cero, una o dos soluciones. Las raíces que respetan los tiempos de salida y la duración de los modelos representan encuentros posibles. Dos encuentros pueden ocurrir si primero un móvil adelanta al otro y más tarde es alcanzado.

Un movimiento en el plano puede describirse mediante dos componentes: horizontal y vertical. Para un proyectil sin resistencia del aire y con gravedad uniforme, la aceleración horizontal es cero y la vertical es −g si y apunta hacia arriba. Por eso el eje x sigue un MRU y el eje y un MRUA. No son dos etapas sucesivas: ocurren a la vez y comparten el mismo tiempo.

Qué es un tiro horizontal

El móvil sale con velocidad inicial horizontal: v₀ₓ ≠ 0 y v₀ᵧ = 0. Es el modelo de una bola que abandona horizontalmente una mesa. Al empezar, no tiene velocidad vertical, pero sí aceleración vertical. En cuanto transcurre tiempo, comienza a descender.

Si el suelo es y = 0 y la altura inicial es h, el tiempo de caída se obtiene de 0 = h − ½gt². Así, t_vuelo = √(2h/g). El alcance horizontal, medido desde el punto de salida, es Δx = v₀ₓt_vuelo. La velocidad horizontal afecta al alcance, pero no al tiempo de caída bajo estas condiciones.

Velocidad de llegada

La velocidad final tiene una componente horizontal y otra vertical. Su módulo no se obtiene sumándolas: usa Pitágoras. Para describir hacia dónde apunta, calcula el ángulo respecto a la horizontal mediante tan β = |vᵧ|/|vₓ|, si vₓ es positivo y el móvil está descendiendo. Entonces β es el ángulo por debajo de la horizontal.

Por qué la trayectoria es parabólica

Si x₀ = 0 y v₀ₓ ≠ 0, despejamos t = x/v₀ₓ y lo sustituimos en y: y = h − gx²/(2v₀ₓ²). La posición vertical depende del cuadrado de la horizontal; por eso la trayectoria es una parábola. Esta ecuación describe el camino, mientras x(t) e y(t) describen también cuándo pasa por cada punto.

En un lanzamiento oblicuo, la velocidad inicial forma un ángulo θ con la horizontal. El primer paso es descomponerla. Tomaremos θ medido desde el eje x positivo, x horizontal y y positivo hacia arriba. Despreciamos la resistencia del aire y suponemos g constante.

Un procedimiento que sirve aunque cambie la altura final

1. Elige referencia y escribe v₀ₓ, v₀ᵧ.
2. Impón en la ecuación vertical la altura a la que debe llegar: suelo, plataforma o una posición indicada.
3. Resuelve el tiempo y elige la raíz físicamente adecuada.
4. Usa ese mismo tiempo en la ecuación horizontal.
5. Calcula las componentes de velocidad y, si lo piden, el módulo y el ángulo.

El punto más alto no es reposo

En la cima vᵧ = 0, pero vₓ se mantiene. Salvo en un lanzamiento estrictamente vertical, la velocidad total no es cero. La rapidez en la cima es |v₀ cos θ|. La aceleración continúa siendo vertical y hacia abajo.

Fórmulas cuando llega a la misma altura de salida

Si la altura final coincide con la inicial, v₀ᵧ es positivo y buscamos el retorno posterior al lanzamiento, el vuelo es simétrico. Entonces podemos usar estas expresiones para el tiempo de vuelo y el alcance horizontal. No las uses directamente para un lanzamiento desde un acantilado que acaba al nivel del mar.

Para la misma rapidez inicial y salida y llegada a igual altura, el alcance máximo corresponde a 45°. Los ángulos complementarios θ y 90° − θ dan el mismo alcance, pero no la misma altura ni el mismo tiempo. Si hay resistencia del aire o alturas diferentes, esa regla no se aplica automáticamente.

Un movimiento circular mantiene la distancia R al centro. Si la rapidez es constante, hablamos de MCU. Su velocidad vectorial no es constante: cambia de dirección continuamente. El vector velocidad es tangente a la circunferencia; la aceleración centrípeta apunta hacia su centro.

El radián: relacionar arco y ángulo

Un ángulo de un radián abarca un arco cuya longitud coincide con el radio. Si el ángulo barrido es θ en radianes, el arco recorrido en ese sentido mide s = Rθ, cuando θ representa una cantidad angular positiva recorrida. Para desplazamientos angulares con signo, la coordenada de arco también puede llevar signo. Una vuelta tiene longitud 2πR y ángulo 2π rad.

Velocidad angular

La velocidad angular ω indica cómo cambia el ángulo con el tiempo. Elegimos positivo el giro antihorario. En MCU, ω es constante y θ = θ₀ + ωt. Para calcular la rapidez lineal de un punto usamos |ω|R. En las fórmulas de módulos que siguen, ω se entiende como el módulo positivo de la velocidad angular.

El período T es el tiempo de una vuelta; la frecuencia f es el número de vueltas por segundo. Su unidad es el hercio: 1 Hz = 1 s⁻¹. Las rpm son revoluciones por minuto; no son rad/s. Para convertir: ω(rad/s) = rpm·2π/60, usando el signo del sentido de giro si se pide la componente.

Aceleración centrípeta

Con igual radio, duplicar la rapidez cuadruplica la aceleración centrípeta. Con igual rapidez, aumentar el radio disminuye esa aceleración. Pero si lo que mantienes constante es ω, aumentar R aumenta v y a_n. Siempre debes indicar qué magnitud se mantiene constante al comparar.

En el MCUA la trayectoria sigue siendo circular, pero la velocidad angular cambia con aceleración angular constante α. Las ecuaciones se parecen a las del MRUA: sustituimos posición por ángulo, velocidad por velocidad angular y aceleración por aceleración angular. El radio se mantiene fijo.

ω se mide en rad/s y α en rad/s². Si α y ω tienen el mismo signo, aumenta la rapidez de giro; si tienen signos contrarios, disminuye hasta llegar a cero. Si el modelo continúa después, puede invertirse el sentido de giro. El número neto de vueltas es Δθ/(2π); si hay cambios de sentido, las vueltas totales recorridas exigen sumar los ángulos recorridos en módulo.

De magnitudes angulares a lineales

Aunque α sea constante, la aceleración lineal total no suele tener módulo constante: la componente normal depende de ω², que cambia durante el giro. Además, las direcciones tangencial y normal van cambiando al avanzar el móvil por la circunferencia.

Frenar un giro

Al frenar con α constante hasta detenerse, el tiempo se obtiene imponiendo ω = 0. Para el ángulo de frenado puedes usar la ecuación sin tiempo. Recuerda que si el disco gira inicialmente en sentido positivo, una aceleración angular negativa lo frena, pero no convierte automáticamente en negativo el ángulo que todavía recorre antes de detenerse.

La velocidad de un cuerpo depende del observador. En mecánica clásica, si un sistema B se traslada respecto a un sistema A sin rotar sus ejes, la velocidad de un móvil P respecto a A se obtiene sumando vectorialmente su velocidad respecto a B y la velocidad de B respecto a A. Las flechas y las referencias importan tanto como los números.

Ejemplo verbal: velocidad de una persona respecto al suelo = velocidad de la persona respecto al tren + velocidad del tren respecto al suelo. En una recta, la suma vectorial se convierte en una suma de componentes con signo. En el plano, hay que sumar por ejes.

Un río con corriente

La velocidad de una barca respecto a la orilla es la suma de su velocidad respecto al agua y la del agua respecto a la orilla. Si apunta perpendicularmente a la orilla, la corriente desplaza la barca río abajo mientras cruza. El tiempo de cruce depende de la componente perpendicular del movimiento respecto a la orilla, no de la rapidez total diagonal.

Apuntar para llegar enfrente

Para llegar justo al punto opuesto, la barca debe apuntar parcialmente contra la corriente. Su componente respecto al agua a lo largo del río debe cancelar la corriente. Solo queda una velocidad neta perpendicular. En este modelo, para avanzar transversalmente mientras cancela toda la corriente, la rapidez de la barca respecto al agua debe superar la rapidez de la corriente.

Si conoces una función de posición, puedes obtener la velocidad derivándola y la aceleración derivando de nuevo. Este bloque amplía la unidad: úsalo cuando tu curso trabaje con estas herramientas. En una dimensión, la derivada expresa la pendiente de la gráfica en cada instante.

Derivar paso a paso

Para funciones polinómicas, la derivada de una constante es cero; la de bt es b; la de ct² es 2ct; la de dt³ es 3dt². Si x(t) = 5 + 2t + t³, la velocidad es v(t) = 2 + 3t² y la aceleración a(t) = 6t, con unidades coherentes. La aceleración cambia con t. No puedes sustituir un único valor de a en las ecuaciones de MRUA para todo el intervalo.

Funciones vectoriales

Deriva cada componente por separado. Si r(t) = x(t)i + y(t)j, entonces v(t) = x′(t)i + y′(t)j. La rapidez es √(x′² + y′²). Una componente nula no implica que el vector entero sea nulo. Esta diferencia explica por qué en la cima de un tiro oblicuo la velocidad total sigue existiendo.

Integrar: acumular cambios

La operación inversa a derivar es integrar. El área bajo a-t proporciona Δv; sumando v₀ obtienes v(t). El área bajo v-t proporciona Δx; sumando x₀ obtienes x(t). Dos móviles pueden tener la misma aceleración y distintas posiciones y velocidades, por lo que necesitas sus condiciones iniciales.

La letra u es una variable auxiliar dentro de la integral. El límite superior t indica hasta qué instante acumulamos el área. Para a(t) = kt, resulta v(t) = v₀ + ½kt² y x(t) = x₀ + v₀t + kt³/6. Cada integración introduce una condición inicial.

Un movimiento armónico simple es una oscilación alrededor de una posición de equilibrio cuya posición varía sinusoidalmente con el tiempo. Es periódico: se repite cada período T. El móvil puede desplazarse sobre una recta de un extremo a otro; no está recorriendo necesariamente una circunferencia.

x es el desplazamiento respecto al equilibrio. A es la amplitud, máxima separación del equilibrio. ω es la frecuencia angular, en rad/s. φ es la fase inicial, que determina en qué punto del ciclo está el móvil cuando t = 0. T = 2π/ω y f = 1/T. La misma posición puede visitarse dos veces por período, con sentidos opuestos; indicar x no basta para conocer el estado completo.

Extremos y equilibrio

En los extremos, la velocidad se anula pero el módulo de la aceleración es máximo. Al pasar por el equilibrio, la aceleración se anula pero la rapidez es máxima. De nuevo, reposo instantáneo y aceleración cero son condiciones distintas.

Cuándo sirve este modelo

Una masa unida a un muelle ideal puede realizar MAS en condiciones adecuadas. Un péndulo simple se aproxima a un MAS para oscilaciones pequeñas; para ángulos grandes no es exacto. No todo vaivén es MAS: debe cumplir a = −ω²x con ω constante.

Un sólido rígido es un modelo de cuerpo que conserva las distancias entre sus puntos. Puede trasladarse, girar o combinar ambos movimientos. En traslación pura, todos sus puntos tienen la misma velocidad instantánea. En rotación alrededor de un eje fijo, comparten la velocidad angular pero su rapidez lineal depende de la distancia al eje.

Giro alrededor de un eje fijo

Un punto situado a distancia r del eje tiene rapidez |ω|r, aceleración tangencial de módulo |α|r y aceleración normal ω²r. Para orientar el vector ω usamos la regla de la mano derecha: los dedos siguen el sentido de giro y el pulgar señala el eje orientado.

Rodamiento sin deslizamiento

Una rueda que avanza combina traslación de su centro y rotación. Si rueda sin patinar sobre un suelo fijo, v_centro = |ω|R. El punto de contacto tiene velocidad instantánea cero respecto al suelo y el punto superior lleva rapidez 2v_centro. Resulta de sumar los vectores de velocidad de traslación y rotación de cada punto.

No uses esta relación si la rueda patina. El punto de contacto no es un punto permanentemente fijo de la rueda: al avanzar, otros puntos pasan por el contacto. La trayectoria de un punto de la llanta respecto al suelo combina giro y avance, por lo que no es una circunferencia.

Momento de una fuerza y momento de inercia

El momento de una fuerza mide su capacidad para cambiar la rotación respecto a un eje. Su módulo es τ = rF sen β, donde β es el ángulo entre el vector desde el eje al punto de aplicación y la fuerza. La unidad es N·m. Una fuerza perpendicular a una palanca produce el mayor momento para r y F fijos.

Estas ecuaciones pertenecen a la dinámica rotacional, que explica las causas del cambio de giro. I es el momento de inercia respecto al eje, en kg·m². Depende de la masa y de su distribución: alejar material del eje aumenta I aunque la masa no cambie. La dinámica permite calcular α; después, las ecuaciones angulares describen el movimiento.

Energía de giro y de rodamiento

La segunda expresión separa la energía de traslación del centro de masa y la de rotación respecto al centro. En una bajada sin pérdidas, parte de la energía potencial se convierte en cada una. Un cuerpo que rueda puede alcanzar una rapidez del centro menor que un punto material que se desliza sin rozamiento desde la misma altura.